Exercício 8. Calcular as derivadas parciais em relação a cada variável:
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de
em relação a cada variável (ou seja, em relação a
e em relação a
). A função dada é
Informações relevantes fornecidas: as variáveis são
e
; a expressão envolve divisão por
, então devemos lembrar que o domínio exige
. Nada mais é pedido.
Passo 2
O que significa calcular a derivada parcial em relação a
? Intuitivamente, é medir como
muda quando eu altero
um pouquinho enquanto mantenho
fixo. Formalmente, a definição por limite é
onde
é um pequeno incremento em
e
é tratado como constante nesse processo. Aqui
significa substituir
por
na fórmula de
.
Passo 3
Calculemos
usando a definição (mas fazendo contas simples): primeiro escrevo
:
Agora a diferença do numerador do quociente de diferença é
Dividindo por
e fazendo
,
Interpretação rápida: com
fixo,
cresce linearmente com
com coeficiente
. Lembre que isso só vale quando
.
Passo 4
Agora, o que significa calcular a derivada parcial em relação a
? É medir como
muda quando eu altero
um pouco enquanto mantenho
fixo. A definição por limite é
onde agora
é o pequeno incremento em
e
é tratado como constante.
Passo 5
Para calcular
é conveniente reescrever
como produto de
por uma potência de
:
Aqui
é visto como constante ao derivar em relação a
. Usamos a regra de derivação de potências: para uma função
, a derivada é
. Aplicando com
obtemos
Como
com
constante no processo, multiplicamos por
:
Outra forma de ver (pela regra do quociente, que dá o mesmo resultado): derivando
em relação a
com
constante resulta em
. Lembrete: válido para
.
Passo 6
Recapitulando e dando um exemplo numérico rápido para fixar: se eu tomar
e
, então
e
. Isso significa que, naquele ponto, um aumento pequeno em
aumenta
em aproximadamente metade do aumento em
, enquanto um aumento pequeno em
diminui
com taxa aproximadamente
vezes o aumento em
.