Exercício 8. Calcular as derivadas parciais em relação a cada variável:
z=\frac{x}{y}

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de z em relação a cada variável (ou seja, em relação a x e em relação a y). A função dada é
z=\frac{x}{y}.
Informações relevantes fornecidas: as variáveis são x e y; a expressão envolve divisão por y, então devemos lembrar que o domínio exige y\neq 0. Nada mais é pedido.

Passo 2

O que significa calcular a derivada parcial em relação a x? Intuitivamente, é medir como z muda quando eu altero x um pouquinho enquanto mantenho y fixo. Formalmente, a definição por limite é
\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{z(x+h,y)-z(x,y)}{h},
onde h é um pequeno incremento em x e y é tratado como constante nesse processo. Aqui z(x+h,y) significa substituir x por x+h na fórmula de z.

Passo 3

Calculemos \frac{\partial z}{\partial x} usando a definição (mas fazendo contas simples): primeiro escrevo z(x+h,y):
z(x+h,y)=\frac{x+h}{y}=\frac{x}{y}+\frac{h}{y}.
Agora a diferença do numerador do quociente de diferença é
z(x+h,y)-z(x,y)=\frac{h}{y}.
Dividindo por h e fazendo h\to 0,
\frac{z(x+h,y)-z(x,y)}{h}=\frac{1}{y}\quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{y}.
Interpretação rápida: com y fixo, z cresce linearmente com x com coeficiente 1/y. Lembre que isso só vale quando y\neq 0.

Passo 4

Agora, o que significa calcular a derivada parcial em relação a y? É medir como z muda quando eu altero y um pouco enquanto mantenho x fixo. A definição por limite é
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{z(x,y+h)-z(x,y)}{h},
onde agora h é o pequeno incremento em y e x é tratado como constante.

Passo 5

Para calcular \frac{\partial z}{\partial y} é conveniente reescrever z como produto de x por uma potência de y:
z = \frac{x}{y} = x\cdot y^{-1}.
Aqui x é visto como constante ao derivar em relação a y. Usamos a regra de derivação de potências: para uma função y\mapsto y^{n}, a derivada é n y^{n-1}. Aplicando com n=-1 obtemos
\frac{d}{dy}\bigl(y^{-1}\bigr) = -1\cdot y^{-2} = -y^{-2}.
Como z(x,y)=x\cdot y^{-1} com x constante no processo, multiplicamos por x:
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=x\cdot\left(-y^{-2}\right) = -\frac{x}{y^{2}}.
Outra forma de ver (pela regra do quociente, que dá o mesmo resultado): derivando \frac{x}{y} em relação a y com x constante resulta em -x/y^{2}. Lembrete: válido para y\neq 0.

Passo 6

Recapitulando e dando um exemplo numérico rápido para fixar: se eu tomar x=3 e y=2, então \frac{\partial z}{\partial x}=1/2 e \frac{\partial z}{\partial y}=-3/4. Isso significa que, naquele ponto, um aumento pequeno em x aumenta z em aproximadamente metade do aumento em x, enquanto um aumento pequeno em y diminui z com taxa aproximadamente 0,75 vezes o aumento em y.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{y}\n
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{x}{y^{2}}

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