Exemplo 34. Determine a taxa de variação de f(x, y)=x y+e^{2 x+y} no ponto ( -1,2 ) na direção do vetor \vec{u}=(1,1).
Solução. Temos \nabla f(x, y)=\left(y+2 e^{2 x+y}, x+e^{2 x+y}\right), \operatorname{logo} \nabla f(-1,2)=(4,0).
Também, \vec{u}=(1,1) e portanto \|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}. Daí resulta que
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(-1,2)=(4,0) \cdot \frac{(1,1)}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2} .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar a taxa de variação de f no ponto (-1,2) na direção do vetor \vec{u}=(1,1).
  • Informação dada: a função
f(x,y)=x y + e^{2x+y},
o ponto (-1,2) e o vetor direção \vec{u}=(1,1).
  • Resultado esperado: a derivada direcional de f nesse ponto na direção de \vec{u}, isto é, a taxa de variação por unidade de comprimento ao longo dessa direção.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada parte):
  • A derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção do vetor unitário \vec{e} é dada por
\frac{\partial f}{\partial \vec{e}}(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \vec{e}.
  • Aqui \nabla f(x,y) é o gradiente de f, um vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • O vetor \vec{e} deve ser unitário (norma igual a 1). Se você tem um vetor não unitário \vec{u}, primeiro calcula a norma \|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2} e define \vec{e}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}.
  • O produto escalar entre \nabla f e \vec{e} é \nabla f\cdot \vec{e} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)e_1 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)e_2. Isso dá a taxa de variação de f por unidade de deslocamento na direção de \vec{e}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (mostrando cada termo):
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: derivamos termo a termo.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y (tratamos y como constante).
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(e^{2x+y}\big)=e^{2x+y}\cdot \dfrac{d}{dx}(2x+y)=e^{2x+y}\cdot 2 (regra da cadeia; y é constante).
    • Portanto,
    \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y+2e^{2x+y}.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x (agora x é constante).
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(e^{2x+y}\big)=e^{2x+y}\cdot \dfrac{d}{dy}(2x+y)=e^{2x+y}\cdot 1 = e^{2x+y}.
    • Portanto,
    \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x+e^{2x+y}.
  • Logo o gradiente é
\nabla f(x,y)=\big(y+2e^{2x+y},\; x+e^{2x+y}\big).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (-1,2):
  • Primeiro calcule e^{2x+y} em (x,y)=(-1,2): 2x+y = 2(-1)+2 = -2+2 = 0,\quad \text{portanto } e^{2x+y}=e^{0}=1.
  • Substituindo em cada componente: \frac{\partial f}{\partial x}(-1,2)=y+2e^{2x+y}=2+2\cdot 1=4,
\frac{\partial f}{\partial y}(-1,2)=x+e^{2x+y}=-1+1=0.
  • Assim
\nabla f(-1,2)=(4,0).

Passo 5

Normalizar o vetor direção \vec{u}=(1,1):
  • A norma de \vec{u} é
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • O vetor unitário na direção de \vec{u} é
\vec{e}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}=\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar (sem simplificar totalmente o resultado final):
  • Aplicando a fórmula
\frac{\partial f}{\partial \vec{e}}(-1,2)=\nabla f(-1,2)\cdot \vec{e}=(4,0)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Fazendo o produto escalar:
(4,0)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=4\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+0\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}.
  • Esse valor é a taxa de variação de f no ponto (-1,2) por unidade de comprimento na direção de \vec{u}.

Resposta

2\sqrt{2}

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