Exemplo 34. Determine a taxa de variação de
no ponto (
) na direção do vetor
.
Solução. Temos
.
Também,
e portanto
. Daí resulta que
Também,
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: determinar a taxa de variação de
no ponto na direção do vetor . - Informação dada: a função
o ponto
e o vetor direção
.
- Resultado esperado: a derivada direcional de
nesse ponto na direção de , isto é, a taxa de variação por unidade de comprimento ao longo dessa direção.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada parte):
- A derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário é dada por
- Aqui
é o gradiente de , um vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
- O vetor
deve ser unitário (norma igual a ). Se você tem um vetor não unitário , primeiro calcula a norma e define . - O produto escalar entre
e é . Isso dá a taxa de variação de por unidade de deslocamento na direção de .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(mostrando cada termo):
- Para
: derivamos termo a termo. -
(tratamos como constante). -
(regra da cadeia; é constante). - Portanto,
-
- Para
: -
(agora é constante). -
. - Portanto,
-
- Logo o gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
:
- Primeiro calcule
em : - Substituindo em cada componente:
- Assim
Passo 5
Normalizar o vetor direção
:
- A norma de
é
- O vetor unitário na direção de
é
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar (sem simplificar totalmente o resultado final):
- Aplicando a fórmula
- Fazendo o produto escalar:
- Esse valor é a taxa de variação de
no ponto por unidade de comprimento na direção de .