Exercício 19. *(Coordenadas Cilíndricas.) A mudança para coordenadas cilíndricas muda as variáveis x, y, z para as variáveis r, \theta, z por meio das relações
O que precisamos calcular é o determinante da matriz Jacobiana
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}.
Passo 2
O que é o Jacobiano aqui (explicação didática rápida): para uma transformação de variáveis (r,\theta,z)\mapsto(x,y,z), o Jacobiano é a matriz cujas entradas são as derivadas parciais de cada coordenada de saída em relação às coordenadas de entrada. Em notação,
J=\left(\frac{\partial x_i}{\partial u_j}\right)
onde x_1=x,\;x_2=y,\;x_3=z e u_1=r,\;u_2=\theta,\;u_3=z. O determinante de J nos dá o fator de escala local de volume provocado pela transformação (isto é, como um pequeno volume em (r,\theta,z) é multiplicado para virar um volume em (x,y,z)).
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais uma a uma (mostrando cada passo, sem pressa):
Observação útil para simplificar o cálculo do determinante: a matriz J é triangular por blocos, com a última linha (0,0,1). Para matrizes desse tipo, o determinante é o produto do determinante do bloco superior-esquerdo 2\times2 pelo elemento 1 no canto inferior-direito. Em outras palavras,
Interpretação prática e rápida (para ajudar na prova): isso significa que um pequeno paralelepípedo em coordenadas (r,\theta,z) com volume aproximado dr\,d\theta\,dz se transforma em um volume aproximado r\,dr\,d\theta\,dz em coordenadas cartesianas — daí aparecer o fator r nas integrais em coordenadas cilíndricas. Força aí, essa é uma conta que cai bastante em provas!