Exercício 19. *(Coordenadas Cilíndricas.) A mudança para coordenadas cilíndricas muda as variáveis x, y, z para as variáveis r, \theta, z por meio das relações
x=r \cdot \cos \theta, \quad y=r \cdot \operatorname{sen} \theta \quad \text { e } \quad z=z
Mostre que o determinante Jacobiano dessa mudança de variáveis vale r.

Passo 1

O enunciado dá a mudança de variáveis
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z
e pede que mostremos que o determinante Jacobiano dessa mudança vale r.
Informações relevantes dadas:
x(r,\theta,z)=r\cos\theta,\quad y(r,\theta,z)=r\sin\theta,\quad z(r,\theta,z)=z.
O que precisamos calcular é o determinante da matriz Jacobiana
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}.

Passo 2

O que é o Jacobiano aqui (explicação didática rápida): para uma transformação de variáveis (r,\theta,z)\mapsto(x,y,z), o Jacobiano é a matriz cujas entradas são as derivadas parciais de cada coordenada de saída em relação às coordenadas de entrada. Em notação,
J=\left(\frac{\partial x_i}{\partial u_j}\right)
onde x_1=x,\;x_2=y,\;x_3=z e u_1=r,\;u_2=\theta,\;u_3=z. O determinante de J nos dá o fator de escala local de volume provocado pela transformação (isto é, como um pequeno volume em (r,\theta,z) é multiplicado para virar um volume em (x,y,z)).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais uma a uma (mostrando cada passo, sem pressa):
Derivadas de x=r\cos\theta:
\frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta, \qquad \frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\theta, \qquad \frac{\partial x}{\partial z}=0.
Derivadas de y=r\sin\theta:
\frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta, \qquad \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos\theta, \qquad \frac{\partial y}{\partial z}=0.
Derivadas de z=z:
\frac{\partial z}{\partial r}=0, \qquad \frac{\partial z}{\partial \theta}=0, \qquad \frac{\partial z}{\partial z}=1.

Passo 4

Montamos a matriz Jacobiana J com essas entradas. Em forma matricial:
J= \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z} \\\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Observação útil para simplificar o cálculo do determinante: a matriz J é triangular por blocos, com a última linha (0,0,1). Para matrizes desse tipo, o determinante é o produto do determinante do bloco superior-esquerdo 2\times2 pelo elemento 1 no canto inferior-direito. Em outras palavras,
\det(J)=\det\!\begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix}\cdot 1.
Assim podemos reduzir o problema para computar o determinante desse 2\times2.]

Passo 6

Calculando o determinante do bloco 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix} = \cos\theta\cdot (r\cos\theta) - (-r\sin\theta)\cdot\sin\theta.
Agora fazemos as contas com calma:
\cos\theta\cdot (r\cos\theta)=r\cos^2\theta,
(-r\sin\theta)\cdot\sin\theta = -r\sin^2\theta,
mas temos um menos na fórmula do determinante subtraindo esse produto, e como o segundo termo já é negativo, o resultado fica somando:
r\cos^2\theta - (-r\sin^2\theta)=r\cos^2\theta + r\sin^2\theta.
Usando a identidade trigonométrica básica
\cos^2\theta+\sin^2\theta=1,
concluímos que
\det\!\begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix}=r.]

Passo 7

Portanto o determinante Jacobiano total é
\det(J)=r\cdot 1 = r.
Interpretação prática e rápida (para ajudar na prova): isso significa que um pequeno paralelepípedo em coordenadas (r,\theta,z) com volume aproximado dr\,d\theta\,dz se transforma em um volume aproximado r\,dr\,d\theta\,dz em coordenadas cartesianas — daí aparecer o fator r nas integrais em coordenadas cilíndricas. Força aí, essa é uma conta que cai bastante em provas!

Resposta

\,r\,

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