Exemplo 1.34. Discuta a convergência da sequência (
), nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
e pede para discutir a convergência dessa sequência. Isso significa que queremos responder, de forma justificada: a sequência converge? Se sim, para que valor ela converge? Além disso, serão úteis informações como se a sequência é limitada e se é monotônica.
Passo 2
Primeira observação simples sobre os termos: cada termo é positivo. Vou mostrar isso claramente.
portanto, aplicando a raiz quadrada (que dá sempre valor não negativo),
Também noto um limite superior fácil: para
temos
, logo
Resumo desta etapa: todos os termos satisfazem
Passo 3
Agora vou mostrar que a sequência é decrescente (monótona não crescente). Compare
com
:
Como
, temos
. Ambas as quantidades são positivas, então ao tomar raiz quadrada a desigualdade se mantém:
Portanto a sequência
é estritamente decrescente.
Passo 4
Combinando Passo 2 e Passo 3: a sequência é decrescente e está limitada inferiormente por
. Existe um teorema simples (teorema da convergência monotônica) que diz: toda sequência monótona e limitada converge. Aplicando esse teorema, concluímos que
converge a algum limite
. Agora precisamos descobrir qual é esse valor
.
Passo 5
Para determinar o limite
, observe a relação simples entre
e
:
Sabemos por cálculo básico que
Se
, então
(porque a função
é contínua), portanto
A única solução real para
é
. Assim o limite da sequência é
.
Passo 6
Para reforçar com uma prova direta estilo definição (epsilon–N), que às vezes aparece em provas: seja
. Queremos achar
tal que
para todo
. Como
, isso é equivalente a
, isto é
Elevando ambos os lados ao quadrado (permitido porque ambos são não negativos),
Portanto basta escolher
(ou qualquer inteiro maior que
). Para esse
temos, para todo
,
o que mostra diretamente que
segundo a definição clássica.
Passo 7
Resumo das propriedades importantes que vimos e que podem cair em prova: (i)
é positiva, (ii) é estritamente decrescente, (iii) é limitada (por cima por
e por baixo por
), (iv) por ser decrescente e limitada, converge, e (v) o limite é
, obtido seja pelo argumento
ou pela prova epsilon–N. Um comentário adicional útil para a prova: uma forma prática de ver a velocidade de decaimento é compará-la com
, pois
quando
grande.