(Teorema de Stokes) Seja
e
a parte do plano
sobre o triângulo com vértices
e
, orientada para cima. Use o Teorema de Stokes para calcular
.(1 pt)
Passo 1
O enunciado dá a campo vetor
e a superfície
que é a parte do plano
sobre o triângulo com vértices
,
e
. A superfície está orientada para cima (isto é, com normal apontando para
).\n\nO que se pede: calcular a integral de superfície\n
usando o Teorema de Stokes.
Passo 2
Vou primeiro calcular o rotacional (curl) de
. A fórmula para o rotacional é
onde
,
,
são as componentes de
. Aqui
,
,
. Calculando componente a componente:\n\nPrimeira componente:
Passo 3
O Teorema de Stokes diz que a integral de superfície do rotacional sobre
é igual à integral de linha de
ao longo da fronteira
orientada positivamente:
Como a superfície tem orientação para cima, a orientação positiva de
é a orientação contrária ao relógio quando olhamos para
na direção do vetor normal (ou seja, ao olhar para baixo na direção
projetada no plano
). A projeção do triângulo no plano
tem vértices
,
,
. Uma ordem conveniente e contrária ao relógio é partir de
para
para
e retornar a
. Vou parametrizar as três arestas nessa ordem.
Passo 4
Parametrização das arestas (cada aresta com parâmetro
):
Aresta 1: de
para
.
Aresta 2: de
para
.
Aresta 3: de
para
.
Em cada aresta avaliaremos
e integraremos de
a
.
Passo 5
Cálculo da integral ao longo de cada aresta.
Aresta 1:
Produto escalar:
Integral:
Aresta 2:
Produto escalar:
Integral:
Aresta 3:
Produto escalar:
Integral:
Passo 6
Somando as contribuições das três arestas:
Portanto, pela igualdade do Teorema de Stokes, a integral de superfície pedida vale
.
Resposta
1