(Teorema de Stokes) Seja \vec{F}(x, y, z)=(-y, x, z) e S a parte do plano z=1-x-y sobre o triângulo com vértices (0,0,1),(1,0,0) e (0,1,0), orientada para cima. Use o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S}(\nabla \times \vec{F}) \cdot d \vec{S}.(1 pt)

Passo 1

O enunciado dá a campo vetor \vec{F}(x,y,z)=(-y,x,z) e a superfície S que é a parte do plano z=1-x-y sobre o triângulo com vértices (0,0,1), (1,0,0) e (0,1,0). A superfície está orientada para cima (isto é, com normal apontando para +z).\n\nO que se pede: calcular a integral de superfície\n \iint_{S} (\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{S}
usando o Teorema de Stokes.

Passo 2

Vou primeiro calcular o rotacional (curl) de \vec{F}. A fórmula para o rotacional é
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\;\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\;\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right),
onde F_x, F_y, F_z são as componentes de \vec{F}. Aqui F_x=-y, F_y=x, F_z=z. Calculando componente a componente:\n\nPrimeira componente:
\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial x}{\partial z}=0-0=0.\nSegunda componente:
\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial(-y)}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x}=0-0=0.\nTerceira componente:
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial(-y)}{\partial y}=1-(-1)=2.\nPortanto
\nabla\times\vec{F}=(0,0,2).

Passo 3

O Teorema de Stokes diz que a integral de superfície do rotacional sobre S é igual à integral de linha de \vec{F} ao longo da fronteira \partial S orientada positivamente:
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}=\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Como a superfície tem orientação para cima, a orientação positiva de \partial S é a orientação contrária ao relógio quando olhamos para S na direção do vetor normal (ou seja, ao olhar para baixo na direção +z projetada no plano xy). A projeção do triângulo no plano xy tem vértices (0,0), (1,0), (0,1). Uma ordem conveniente e contrária ao relógio é partir de (1,0,0) para (0,1,0) para (0,0,1) e retornar a (1,0,0). Vou parametrizar as três arestas nessa ordem.

Passo 4

Parametrização das arestas (cada aresta com parâmetro t\in[0,1]):
Aresta 1: de A=(1,0,0) para B=(0,1,0).
\vec{r}_1(t)=(1-t,\;t,\;0),\qquad \vec{r}_1'(t)=(-1,1,0).
Aresta 2: de B=(0,1,0) para C=(0,0,1).
\vec{r}_2(t)=(0,\;1-t,\;t),\qquad \vec{r}_2'(t)=(0,-1,1).
Aresta 3: de C=(0,0,1) para A=(1,0,0).
\vec{r}_3(t)=(t,\;0,\;1-t),\qquad \vec{r}_3'(t)=(1,0,-1).
Em cada aresta avaliaremos \vec{F}(\vec{r}_i(t))\cdot \vec{r}_i'(t) e integraremos de 0 a 1.

Passo 5

Cálculo da integral ao longo de cada aresta.
Aresta 1:
\vec{F}(\vec{r}_1(t))=(-y,x,z)=(-t,\;1-t,\;0).
Produto escalar:
\vec{F}(\vec{r}_1(t))\cdot\vec{r}_1'(t)=(-t,1-t,0)\cdot(-1,1,0)=t+(1-t)=1.
Integral:
\int_{0}^{1}1\,dt=1.
Aresta 2:
\vec{F}(\vec{r}_2(t))=(-y,x,z)=(-(1-t),\;0,\;t)=(t-1,0,t).
Produto escalar:
\vec{F}(\vec{r}_2(t))\cdot\vec{r}_2'(t)=(t-1,0,t)\cdot(0,-1,1)=0+0+t=t.
Integral:
\int_{0}^{1} t\,dt=\frac{1}{2}.
Aresta 3:
\vec{F}(\vec{r}_3(t))=(-y,x,z)=(0,\;t,\;1-t).
Produto escalar:
\vec{F}(\vec{r}_3(t))\cdot\vec{r}_3'(t)=(0,t,1-t)\cdot(1,0,-1)=0+0-(1-t)=t-1.
Integral:
\int_{0}^{1} (t-1)\,dt=\left[\frac{t^2}{2}-t\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}.

Passo 6

Somando as contribuições das três arestas:
1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1.
Portanto, pela igualdade do Teorema de Stokes, a integral de superfície pedida vale 1.

Resposta

1

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