Exemplo 1.34. Discuta a convergência da sequência (
), nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que a gente discuta a convergência dessa sequência. Informações relevantes extraídas do enunciado:
está definida apenas para
tais que as raízes sejam reais, isto é, precisamos de
. Logo a sequência é considerada para
.
O que precisamos responder: determinar se converge e, em caso afirmativo, qual é o seu limite.
O que precisamos responder: determinar se
Passo 2
Verificação imediata de sinal e ideia para simplificar: note que para
temos
, então
para todo
.
Uma técnica muito útil quando aparecem diferenças de raízes é multiplicar pelo conjugado para eliminar as raízes no numerador. Vou usar isso para reescrever de forma mais conveniente.
Uma técnica muito útil quando aparecem diferenças de raízes é multiplicar pelo conjugado para eliminar as raízes no numerador. Vou usar isso para reescrever
Passo 3
Multiplicamos e dividimos por
(o conjugado):
No numerador temos a diferença de quadrados, então
Calculando a diferença no numerador obtemos
Essa forma é muito mais fácil de analisar porque o numerador é constante e o denominador mostra claramente o comportamento quando
cresce.
Passo 4
Análise de monotonicidade: observe que a função
é estritamente crescente em
(cada raiz aumenta quando
aumenta). Então, como o numerador
é fixo, a expressão
é estritamente decrescente em
. Mais formalmente, para
,
logo
e portanto
. Concluímos que
é decrescente.
Passo 5
Análise de acotamento: já vimos que
para todo
. Assim a sequência é limitada inferiormente por
. Como também é decrescente, ela é bounded abaixo e monotona decrescente, portanto converge (teorema da convergência monotônica).
Passo 6
Cálculo do limite: usando a forma obtida em Passo 3,
Para
cada termo
e
tende a
, então o denominador tende a
. Uma forma simples de ver que o denominador cresce sem limite é notar que
Portanto o denominador
, e como o numerador é a constante
, segue que
Passo 7
Resumo da argumentação lógica (para você usar na prova): reescrevemos
racionalizando a diferença de raízes, obtivemos uma fração com numerador constante e denominador crescente sem limite. Mostramos também que
é positiva e decrescente, portanto convergente por ser monótona e limitada inferiormente. Calculamos explicitamente o limite e encontramos
.
Resposta
A sequência converge e
.