Exemplo 1.34. Discuta a convergência da sequência ( x_{n} ), nos seguintes casos:
x_{n}=\sqrt{2 n+3}-\sqrt{2 n-3}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \,x_{n}=\sqrt{2 n+3}-\sqrt{2 n-3}\, e pede que a gente discuta a convergência dessa sequência. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\,x_{n} está definida apenas para n tais que as raízes sejam reais, isto é, precisamos de 2n-3\ge 0. Logo a sequência é considerada para n\ge 2.
O que precisamos responder: determinar se \,(x_n) converge e, em caso afirmativo, qual é o seu limite.

Passo 2

Verificação imediata de sinal e ideia para simplificar: note que para n\ge 2 temos \sqrt{2n+3}>\sqrt{2n-3}, então \,x_n>0 para todo n\ge 2.
Uma técnica muito útil quando aparecem diferenças de raízes é multiplicar pelo conjugado para eliminar as raízes no numerador. Vou usar isso para reescrever x_n de forma mais conveniente.

Passo 3

Multiplicamos e dividimos por \sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3} (o conjugado):
x_n=\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-3} =\frac{\bigl(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-3}\bigr)\bigl(\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3}\bigr)}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3}}.
No numerador temos a diferença de quadrados, então
x_n=\frac{(2n+3)-(2n-3)}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3}}.
Calculando a diferença no numerador obtemos
x_n=\frac{6}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3}}.
Essa forma é muito mais fácil de analisar porque o numerador é constante e o denominador mostra claramente o comportamento quando n cresce.

Passo 4

Análise de monotonicidade: observe que a função g(n)=\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3} é estritamente crescente em n (cada raiz aumenta quando n aumenta). Então, como o numerador 6 é fixo, a expressão
x_n=\frac{6}{g(n)}
é estritamente decrescente em n. Mais formalmente, para n\ge 2,
g(n+1)-g(n)=\bigl(\sqrt{2n+5}-\sqrt{2n+3}\bigr)+\bigl(\sqrt{2n-1}-\sqrt{2n-3}\bigr)>0,
logo g(n+1)>g(n) e portanto x_{n+1}<x_n. Concluímos que (x_n) é decrescente.

Passo 5

Análise de acotamento: já vimos que x_n>0 para todo n\ge 2. Assim a sequência é limitada inferiormente por 0. Como também é decrescente, ela é bounded abaixo e monotona decrescente, portanto converge (teorema da convergência monotônica).

Passo 6

Cálculo do limite: usando a forma obtida em Passo 3,
x_n=\frac{6}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3}}.
Para n\to\infty cada termo \sqrt{2n+3} e \sqrt{2n-3} tende a \infty, então o denominador tende a \infty. Uma forma simples de ver que o denominador cresce sem limite é notar que
\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3}\ge 2\sqrt{2n-3}\quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\sqrt{2n-3}=\infty.
Portanto o denominador \to\infty, e como o numerador é a constante 6, segue que
\lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty}\frac{6}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3}}=0.

Passo 7

Resumo da argumentação lógica (para você usar na prova): reescrevemos x_n racionalizando a diferença de raízes, obtivemos uma fração com numerador constante e denominador crescente sem limite. Mostramos também que (x_n) é positiva e decrescente, portanto convergente por ser monótona e limitada inferiormente. Calculamos explicitamente o limite e encontramos 0.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = 0.

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