Exercício 1.31. Analise a convergência da sequência
cujo termo geral é
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
Lista clara do que foi dado e do que é pedido:
- Dado: para cada
temos . (Aqui eu usei que , por isso aparecem duas parcelas iguais a .) - Pedido: analisar a convergência de
; isto é, decidir se ela converge ou diverge e, se converge, identificar seu limite.
Passo 2
Mostramos que
é monotonicamente crescente (isto ajuda a entender o comportamento).
- Calcule a diferença entre termos consecutivos:
- Como
para todo , segue que para todo . - Conclusão deste passo:
é crescente (estritamente crescente).
Explicação didática curta: uma sequência é crescente quando cada termo seguinte é maior ou igual ao anterior; aqui temos estritamente maior porque adicionamos um número positivo a cada passo.
Passo 3
Agora mostramos que
é limitada superiormente (ou seja, existe um número que é maior ou igual a todos os
).
- Primeiro usamos uma desigualdade útil para
. Para todo vale
pois entre os fatores
cada um é pelo menos
quando
. Assim, para
,
(Verificação rápida: para
temos
; para
temos
; e para
o produto tem pelo menos
fatores
.)
- Use essa desigualdade para estimar a soma total:
Faça a mudança de índice
na soma geométrica:
- A soma geométrica conhecida é
- Portanto para todo
,
- Conclusão deste passo:
é limitada superiormente por . (Na verdade o limite é bem menor que , mas esse é um limite simples e suficiente.)
Explicação didática curta: exibimos uma comparação com uma série geométrica que sabemos somar; assim controlamos a cauda da soma de fatoriais.
Passo 4
Aplicamos um teorema básico sobre sequências monotônicas:
- Teorema (fato usado): toda sequência monotonicamente crescente e limitada superiormente converge (tem limite finito).
- Já mostrámos que
é crescente (Passo 2) e que (Passo 3). Logo, por esse teorema, converge.
Explicação didática curta: pensar nisso como uma escada onde cada degrau sobe um pouco, mas não se pode passar de um teto — cedo ou tarde os termos se aproximam de um valor limite.
Passo 5
Identificação do limite (nome e valor):
- A sequência
é exatamente a sequência das somas parciais da série infinita . Como acabamos de ver ela converge, portanto tem limite
- Por definição padrão em análise, esse número é o número
(a base dos logaritmos naturais). Ou seja,
- Podemos ainda dar uma aproximação numérica útil para a prova:
Explicação didática curta: existem várias formas equivalentes de definir
; uma delas é justamente a soma acima. Portanto o limite da sequência é
.