Exercício 1.31. Analise a convergência da sequência \left(x_{n}\right) cujo termo geral é
x_{n}=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
x_{n}=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}.
Lista clara do que foi dado e do que é pedido:
  • Dado: para cada n\in\mathbb{N} temos x_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}. (Aqui eu usei que \,0!=1, por isso aparecem duas parcelas iguais a 1.)
  • Pedido: analisar a convergência de (x_n); isto é, decidir se ela converge ou diverge e, se converge, identificar seu limite.

Passo 2

Mostramos que (x_n) é monotonicamente crescente (isto ajuda a entender o comportamento).
  • Calcule a diferença entre termos consecutivos:
x_{n+1}-x_n=\frac{1}{(n+1)!}.
  • Como \frac{1}{(n+1)!}>0 para todo n, segue que x_{n+1}>x_n para todo n.
  • Conclusão deste passo: (x_n) é crescente (estritamente crescente).
Explicação didática curta: uma sequência é crescente quando cada termo seguinte é maior ou igual ao anterior; aqui temos estritamente maior porque adicionamos um número positivo a cada passo.

Passo 3

Agora mostramos que (x_n) é limitada superiormente (ou seja, existe um número que é maior ou igual a todos os x_n).
  • Primeiro usamos uma desigualdade útil para k!. Para todo k\ge 1 vale
k! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots k \ge 1\cdot 2\cdot 2\cdots 2 = 2^{\,k-1},
pois entre os fatores 2,3,\dots,k cada um é pelo menos 2 quando k\ge2. Assim, para k\ge1,
\frac{1}{k!}\le \frac{1}{2^{\,k-1}}.
(Verificação rápida: para k=1 temos 1!=1\ge 2^{0}=1; para k=2 temos 2!=2\ge2^{1}=2; e para k\ge3 o produto tem pelo menos k-1 fatores \ge2.)
  • Use essa desigualdade para estimar a soma total:
x_n = 1+1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!} \le 2+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^{\,k-1}}.
Faça a mudança de índice j=k-1 na soma geométrica:
\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^{\,k-1}}=\sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{2^{j}} \le \sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{j}}.
  • A soma geométrica conhecida é
\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{j}}=\frac{1/2}{1-1/2}=1.
  • Portanto para todo n,
x_n \le 2+1=3.
  • Conclusão deste passo: (x_n) é limitada superiormente por 3. (Na verdade o limite é bem menor que 3, mas esse é um limite simples e suficiente.)
Explicação didática curta: exibimos uma comparação com uma série geométrica que sabemos somar; assim controlamos a cauda da soma de fatoriais.

Passo 4

Aplicamos um teorema básico sobre sequências monotônicas:
  • Teorema (fato usado): toda sequência monotonicamente crescente e limitada superiormente converge (tem limite finito).
  • Já mostrámos que (x_n) é crescente (Passo 2) e que x_n\le 3 (Passo 3). Logo, por esse teorema, (x_n) converge.
Explicação didática curta: pensar nisso como uma escada onde cada degrau sobe um pouco, mas não se pode passar de um teto — cedo ou tarde os termos se aproximam de um valor limite.

Passo 5

Identificação do limite (nome e valor):
  • A sequência x_n é exatamente a sequência das somas parciais da série infinita \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}. Como acabamos de ver ela converge, portanto tem limite
\lim_{n\to\infty} x_n=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}.
  • Por definição padrão em análise, esse número é o número e (a base dos logaritmos naturais). Ou seja,
e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}.
  • Podemos ainda dar uma aproximação numérica útil para a prova: e\approx 2{,}7182818\ldots
Explicação didática curta: existem várias formas equivalentes de definir e; uma delas é justamente a soma acima. Portanto o limite da sequência é e.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=e\approx 2{,}7182818

Exercícios relacionados