Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência ( x_{n} ), nos seguintes casos:
x_{n}=p(n), sendo p uma função polinomial.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado: a sequência (x_{n}) definida por x_{n}=p(n), onde p é um polinômio (de coeficientes reais) e n varia nos naturais.
  • Pedido: discutir a convergência da sequência (x_{n}). Ou seja: determinar quando ela converge (para um número real finito), quando diverge para +\infty ou para -\infty, e justificar.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • Podemos escrever p por sua forma padrão como
p(t)=a_{d}t^{d}+a_{d-1}t^{d-1}+\dots+a_{1}t+a_{0},
onde d é o grau de p (um inteiro d\ge 0) e a_{d}\neq 0 é o coeficiente líder.
  • A sequência é obtida avaliando p em t=n\in\mathbb{N}: x_{n}=p(n).

Passo 2

Definições e estratégia básica (bem mastigada):
  • Uma sequência (x_n) converge para um número real L se, ao escolhermos qualquer tolerância pequena \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N temos |x_n-L|<\varepsilon.
  • Dizemos que (x_n) diverge para +\infty se, para todo M>0, existe N tal que para todo n\ge N temos x_n>M. Analogamente para -\infty.
  • Estratégia: analisar por casos segundo o grau d do polinômio p. Polinômios têm comportamento assintótico dominado pelo termo de maior grau a_d t^d, e isso será a chave.

Passo 3

Caso d=0 (polinômio constante):
  • Se d=0 então p(t)=a_{0} para todo t, logo x_{n}=p(n)=a_{0} é a mesma constante para todo n.
  • Portanto (x_n) converge e o limite é a_{0}.
    Comentário amigo: esse é o único caso em que a sequência obtida de um polinômio pode convergir para um número finito — intuitivamente, se o polinômio “não cresce” com n.

Passo 4

Caso d\ge 1. Escrevemos explicitamente o polinômio e separamos o termo líder:
p(n)=a_{d}n^{d}+\sum_{k=0}^{d-1}a_{k}n^{k}.
Dividindo por n^{d} (que é positivo para n\ge 1) obtemos
\frac{p(n)}{n^{d}}=a_{d}+\sum_{k=0}^{d-1}a_{k}n^{k-d}.
Agora observe cada termo da soma: para k\le d-1 temos k-d\le -1, então
\lim_{n\to\infty} a_{k}n^{k-d}=0.
Logo, passando ao limite,
\lim_{n\to\infty}\frac{p(n)}{n^{d}}=a_{d}.
Isto é, p(n) tem a mesma ordem assintótica de a_{d}n^{d}: para n grande,
p(n)\approx a_{d}n^{d}.

Passo 5

Conclusão do comportamento quando d\ge 1:
  • Como n^{d}\to\infty quando n\to\infty (para d\ge 1), e \frac{p(n)}{n^{d}}\to a_{d}, multiplicando obtemos que p(n) se comporta como a_{d}n^{d}.
  • Se a_{d}>0 então para n suficientemente grande temos \frac{p(n)}{n^{d}}>\frac{a_{d}}{2}>0, logo
p(n)=n^{d}\cdot\frac{p(n)}{n^{d}}>\frac{a_{d}}{2}n^{d}\to+\infty.
Assim x_{n}\to+\infty.
  • Se a_{d}<0 então para n grande \frac{p(n)}{n^{d}}<\frac{a_{d}}{2}<0, e portanto
p(n)<\frac{a_{d}}{2}n^{d}\to-\infty,
logo x_{n}\to-\infty.
  • Em resumo: para qualquer polinômio não-constante ( d\ge 1) a sequência diverge; não converge para número real finito, mas tende a +\infty ou -\infty conforme o sinal do coeficiente líder a_{d}.

Passo 6

Observações adicionais e exemplos rápidos (para fixar):
  • Exemplo 1: p(t)=5 ( d=0). Então x_n=5 converge para 5.
  • Exemplo 2: p(t)=2t+1 ( d=1, a_{1}=2>0). Então x_n\to+\infty.
  • Exemplo 3: p(t)=-t^{2}+3t ( d=2, a_{2}=-1<0). Então x_n\to-\infty.
    Comentário amigo: repare que não existe oscilação entre valores finitos para n\to\infty — o termo de maior grau domina e “puxa” a sequência para +\infty ou -\infty, salvo o caso em que nada a puxa (polinômio constante).

Passo 7

Como aplicar isso numa prova (truque rápido):
  • Identifique o grau d de p.
  • Se d=0 responda: converge para p.
  • Se d\ge 1 encontre o coeficiente líder a_{d}. Se a_{d}>0 escreva “diverge para +\infty”; se a_{d}<0 escreva “diverge para -\infty”. Justifique mencionando que \lim_{n\to\infty}p(n)/n^{d}=a_{d} e que n^{d}\to\infty.

Resposta

A sequência (x_{n}) converge se, e somente se, p é constante (grau d=0). Neste caso x_{n}=p(n)=a_{0} e o limite é a_{0}. Se p tem grau d\ge 1 com coeficiente líder a_{d}\neq 0, então
\lim_{n\to\infty}\frac{p(n)}{n^{d}}=a_{d}
e, portanto, x_{n}=p(n) diverge: se a_{d}>0 então x_{n}\to+\infty, e se a_{d}<0 então x_{n}\to-\infty.

Exercícios relacionados