Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência (
), nos seguintes casos:
, sendo
uma função polinomial.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado: a sequência
definida por , onde é um polinômio (de coeficientes reais) e varia nos naturais. - Pedido: discutir a convergência da sequência
. Ou seja: determinar quando ela converge (para um número real finito), quando diverge para ou para , e justificar.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- Podemos escrever
por sua forma padrão como
onde
é o grau de
(um inteiro
) e
é o coeficiente líder.
- A sequência é obtida avaliando
em : .
Passo 2
Definições e estratégia básica (bem mastigada):
- Uma sequência
converge para um número real se, ao escolhermos qualquer tolerância pequena , existe tal que para todo temos . - Dizemos que
diverge para se, para todo , existe tal que para todo temos . Analogamente para . - Estratégia: analisar por casos segundo o grau
do polinômio . Polinômios têm comportamento assintótico dominado pelo termo de maior grau , e isso será a chave.
Passo 3
Caso
(polinômio constante):
- Se
então para todo , logo é a mesma constante para todo . - Portanto
converge e o limite é .
Comentário amigo: esse é o único caso em que a sequência obtida de um polinômio pode convergir para um número finito — intuitivamente, se o polinômio “não cresce” com.
Passo 4
Caso
. Escrevemos explicitamente o polinômio e separamos o termo líder:
Dividindo por
(que é positivo para
) obtemos
Agora observe cada termo da soma: para
temos
, então
Logo, passando ao limite,
Isto é,
tem a mesma ordem assintótica de
: para
grande,
Passo 5
Conclusão do comportamento quando
:
- Como
quando (para ), e , multiplicando obtemos que se comporta como . - Se
então para suficientemente grande temos , logo
Assim
.
- Se
então para grande , e portanto
logo
.
- Em resumo: para qualquer polinômio não-constante (
) a sequência diverge; não converge para número real finito, mas tende a ou conforme o sinal do coeficiente líder .
Passo 6
Observações adicionais e exemplos rápidos (para fixar):
- Exemplo 1:
( ). Então converge para . - Exemplo 2:
( , ). Então . - Exemplo 3:
( , ). Então .
Comentário amigo: repare que não existe oscilação entre valores finitos para— o termo de maior grau domina e “puxa” a sequência para ou , salvo o caso em que nada a puxa (polinômio constante).
Passo 7
Como aplicar isso numa prova (truque rápido):
- Identifique o grau
de . - Se
responda: converge para . - Se
encontre o coeficiente líder . Se escreva “diverge para ”; se escreva “diverge para ”. Justifique mencionando que e que .
Resposta
A sequência
converge se, e somente se,
é constante (grau
). Neste caso
e o limite é
. Se
tem grau
com coeficiente líder
, então
e, portanto,
diverge: se
então
, e se
então
.