Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência (
), nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que a gente discuta a convergência dela.
Informações relevantes: a sequência é dada explicitamente termo a termo por para
. A pergunta é se
converge e, em caso afirmativo, para qual valor.
Informações relevantes: a sequência é dada explicitamente termo a termo por
Passo 2
Primeira ideia natural: olhar o comportamento para
grande, dividindo numerador e denominador pelo maior termo em
, que é
. Isso ajuda porque elimina potências e mostra o termo dominante. Faço isso:
Quando
temos
, então a expressão tende a
Assim, o candidato a limite é
. Agora vamos provar rigorosamente que
.
Passo 3
Vou fazer uma prova tipo épsilon (definição formal de limite) mostrando uma desigualdade simples que dá controle do erro. Calculo a diferença entre
e
:
Tomando valor absoluto,
Como
para todo
, obtemos a desigualdade útil
Dado
, basta escolher
tal que
, por exemplo qualquer
. Então, para todo
temos
Isso prova formalmente que
.
Passo 4
Apresento também uma prova alternativa, mais qualitativa, usando monotonicidade e limite superior (útil na prova em prova de prova): escrevemos novamente
Como
cresce,
diminui, logo o denominador
diminui e, portanto,
aumenta. Posso mostrar isso por diferença:
Note que
logo
e a sequência é estritamente crescente. Além disso, para todo
,
ou seja, está limitada superiormente por
. Uma sequência crescente e limitada superiormente converge; o limite é o supremo, aqui igual a
. Isso confirma a conclusão anterior.
Passo 5
Pequena verificação numérica para intuir:
esses termos vão se aproximando de
por baixo, como previsto.
Passo 6
Resumo didático rápido (dica para prova): quando aparecer uma sequência racional com potências de
no numerador e denominador, divida pelo maior expoente de
que aparece (aqui
) para ver o termo dominante e o candidato ao limite. Para prova formal use a desigualdade que obtivemos ou a propriedade “sequência monótona limitada convergente”.
Resposta
A sequência converge e
.