Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência ( x_{n} ), nos seguintes casos:
x_{n}=\frac{4 n^{2}}{2 n^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência x_{n}=\dfrac{4 n^{2}}{2 n^{2}+1} e pede que a gente discuta a convergência dela.
Informações relevantes: a sequência é dada explicitamente termo a termo por \;x_{n}=\dfrac{4 n^{2}}{2 n^{2}+1}\; para n\in\mathbb{N}. A pergunta é se (x_n) converge e, em caso afirmativo, para qual valor.

Passo 2

Primeira ideia natural: olhar o comportamento para n grande, dividindo numerador e denominador pelo maior termo em n, que é n^{2}. Isso ajuda porque elimina potências e mostra o termo dominante. Faço isso:
x_{n}=\frac{4 n^{2}}{2 n^{2}+1}=\frac{4}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Quando n\to\infty temos \dfrac{1}{n^{2}}\to 0, então a expressão tende a
\frac{4}{2+0}=\frac{4}{2}=2.
Assim, o candidato a limite é 2. Agora vamos provar rigorosamente que \lim_{n\to\infty} x_n=2.

Passo 3

Vou fazer uma prova tipo épsilon (definição formal de limite) mostrando uma desigualdade simples que dá controle do erro. Calculo a diferença entre x_n e 2:
x_n-2=\frac{4}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}-2=\frac{4-2\left(2+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}{2+\dfrac{1}{n^{2}}} =\frac{-\dfrac{2}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Tomando valor absoluto,
|x_n-2|=\frac{2}{n^{2}\left(2+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}.
Como 2+\dfrac{1}{n^{2}}>2 para todo n, obtemos a desigualdade útil
|x_n-2|<\frac{2}{n^{2}\cdot 2}=\frac{1}{n^{2}}.
Dado \varepsilon>0, basta escolher N tal que \dfrac{1}{N^{2}}<\varepsilon, por exemplo qualquer N>\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}. Então, para todo n\ge N temos
|x_n-2|\le\frac{1}{n^{2}}\le\frac{1}{N^{2}}<\varepsilon.
Isso prova formalmente que \lim_{n\to\infty} x_n=2.

Passo 4

Apresento também uma prova alternativa, mais qualitativa, usando monotonicidade e limite superior (útil na prova em prova de prova): escrevemos novamente
x_n=\frac{4}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Como n cresce, \dfrac{1}{n^{2}} diminui, logo o denominador 2+\dfrac{1}{n^{2}} diminui e, portanto, x_n aumenta. Posso mostrar isso por diferença:
x_{n+1}-x_n =\frac{4}{2+\dfrac{1}{(n+1)^{2}}}-\frac{4}{2+\dfrac{1}{n^{2}}} =4\cdot\frac{\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{(n+1)^{2}}} {\left(2+\dfrac{1}{(n+1)^{2}}\right)\left(2+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}.
Note que
\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{(n+1)^{2}}=\frac{(n+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}>0,
logo x_{n+1}-x_n>0 e a sequência é estritamente crescente. Além disso, para todo n,
x_n=\frac{4}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}<\frac{4}{2}=2,
ou seja, está limitada superiormente por 2. Uma sequência crescente e limitada superiormente converge; o limite é o supremo, aqui igual a 2. Isso confirma a conclusão anterior.

Passo 5

Pequena verificação numérica para intuir:
x_{1}=\frac{4\cdot1^{2}}{2\cdot1^{2}+1}=\frac{4}{3}\approx 1,333,
x_{2}=\frac{4\cdot4}{2\cdot4+1}=\frac{16}{9}\approx 1,777,
x_{3}=\frac{36}{19}\approx 1,894,
esses termos vão se aproximando de 2 por baixo, como previsto.

Passo 6

Resumo didático rápido (dica para prova): quando aparecer uma sequência racional com potências de n no numerador e denominador, divida pelo maior expoente de n que aparece (aqui n^{2}) para ver o termo dominante e o candidato ao limite. Para prova formal use a desigualdade que obtivemos ou a propriedade “sequência monótona limitada convergente”.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = 2.

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