Exemplo 1.36. Discuta a convergência da sequência (
), nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que discutamos a convergência dessa sequência (isto é, se ela converge e, em caso afirmativo, para que valor). Informações relevantes extraídas do enunciado:
e assim por diante. Não há outras hipóteses adicionais. A pergunta é única: determinar se
converge e qual é o limite.
Passo 2
Vamos ver como
se relaciona com
. Escrevendo explicitamente:
Dividindo, obtemos a razão entre termos consecutivos:
Portanto temos a relação de recorrência simples
Passo 3
Analisemos a razão
. Para todo
,
porque
. Logo cada termo seguinte é menor que o anterior:
ou seja, a sequência
é estritamente decrescente a partir de
. Observação numérica rápida (já vista no Passo 1) confirma:
.
Passo 4
A sequência
é formada por razões de números positivos, logo todos os seus termos são não negativos:
Temos então que
é decrescente e está limitada inferiormente por
. Pelo teorema (intuitivo) das sequências monotônicas: toda sequência monótona e limitada converge. Assim
converge; seja
com
real e
.
Passo 5
Agora usamos a relação de recorrência para achar
. Da igualdade
podemos passar ao limite quando
. Sabemos que
. Como
e
, o produto tende a
. Tomando limite em ambos os lados:
Essa igualdade implica
Aqui usamos que
é finito (o que é garantido porque a sequência é decrescente e não negativa).
Passo 6
Conclusão final e comentário pedagógico: a sequência é positiva, estritamente decrescente e limitada inferiormente por
, portanto converge. Aplicando a relação entre termos consecutivos e passando ao limite obtemos que o único possível limite é
. Logo a sequência converge para
. Se quiser, uma visão intuitiva: a fatoração do denominador por números ímpares cresce mais rápido (em média) que o numerador
, fazendo com que os termos vão caindo até zero.