Exemplo 1.36. Discuta a convergência da sequência ( x_{n} ), nos seguintes casos:
x_{n}=\frac{n!}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
x_n=\frac{n!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}
e pede que discutamos a convergência dessa sequência (isto é, se ela converge e, em caso afirmativo, para que valor). Informações relevantes extraídas do enunciado:
x_1=\frac{1!}{1}=1,\qquad x_2=\frac{2!}{1\cdot3}=\frac{2}{3},\qquad x_3=\frac{3!}{1\cdot3\cdot5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5},
e assim por diante. Não há outras hipóteses adicionais. A pergunta é única: determinar se (x_n) converge e qual é o limite.

Passo 2

Vamos ver como x_{n+1} se relaciona com x_n. Escrevendo explicitamente:
x_n=\frac{n!}{\prod_{k=1}^{n}(2k-1)},\qquad x_{n+1}=\frac{(n+1)!}{\prod_{k=1}^{n+1}(2k-1)}.
Dividindo, obtemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{x_{n+1}}{x_n} =\frac{(n+1)!}{n!}\cdot\frac{\prod_{k=1}^{n}(2k-1)}{\prod_{k=1}^{n+1}(2k-1)} =\frac{n+1}{2n+1}.
Portanto temos a relação de recorrência simples
x_{n+1}=x_n\cdot\frac{n+1}{2n+1}.

Passo 3

Analisemos a razão \dfrac{n+1}{2n+1}. Para todo n\ge1,
\frac{n+1}{2n+1}<1,
porque n+1<2n+1. Logo cada termo seguinte é menor que o anterior:
x_{n+1}<x_n\quad\text{para todo }n\ge1,
ou seja, a sequência (x_n) é estritamente decrescente a partir de n=1. Observação numérica rápida (já vista no Passo 1) confirma: 1,\;2/3,\;2/5,\;\dots.

Passo 4

A sequência (x_n) é formada por razões de números positivos, logo todos os seus termos são não negativos:
x_n\ge 0\quad\text{para todo }n.
Temos então que (x_n) é decrescente e está limitada inferiormente por 0. Pelo teorema (intuitivo) das sequências monotônicas: toda sequência monótona e limitada converge. Assim (x_n) converge; seja
L=\lim_{n\to\infty} x_n,
com L real e L\ge0.

Passo 5

Agora usamos a relação de recorrência para achar L. Da igualdade
x_{n+1}=x_n\cdot\frac{n+1}{2n+1}
podemos passar ao limite quando n\to\infty. Sabemos que \dfrac{n+1}{2n+1}\to\tfrac{1}{2}. Como x_n\to L e \dfrac{n+1}{2n+1}\to\tfrac{1}{2}, o produto tende a L\cdot\tfrac{1}{2}. Tomando limite em ambos os lados:
L=\lim_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(x_n\cdot\frac{n+1}{2n+1}\right)=L\cdot\frac{1}{2}.
Essa igualdade implica
L=\frac{1}{2}L \quad\Longrightarrow\quad L-\frac{1}{2}L=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}L=0 \quad\Longrightarrow\quad L=0.
Aqui usamos que L é finito (o que é garantido porque a sequência é decrescente e não negativa).

Passo 6

Conclusão final e comentário pedagógico: a sequência é positiva, estritamente decrescente e limitada inferiormente por 0, portanto converge. Aplicando a relação entre termos consecutivos e passando ao limite obtemos que o único possível limite é 0. Logo a sequência converge para 0. Se quiser, uma visão intuitiva: a fatoração do denominador por números ímpares cresce mais rápido (em média) que o numerador n!, fazendo com que os termos vão caindo até zero.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = 0

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