Exemplo 46
Calcule as derivadas parciais da função s=f(x, y, z, w) dada por s=e^x y z w.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
s = f(x,y,z,w) = e^x,y,z,w
O conteúdo aqui é derivada parcial e, em particular, aplicação da regra da cadeia em funções compostas.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, definimos a função interna
u(x,y,z,w) = x,y,z,w
e vemos que
s = e^u,
Logo, para cada variável vinx,y,z,w vale
partial spartial v = partial upartial v,e^u,

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de u:
partial upartial x = y,z,w, partial upartial y = x,z,w, partial upartial z = x,y,w, partial upartial w = x,y,z

Passo 4

Substituindo em partial spartial v = partial upartial v,e^u e lembrando que u=xyzw, obtemos
partial spartial x = y,z,w,e^x,y,z,w
partial spartial y = x,z,w,e^x,y,z,w
partial spartial z = x,y,w,e^x,y,z,w
partial spartial w = x,y,z,e^x,y,z,w

Resposta

partial spartial x = yzw,e^xyzw, partial spartial y = xzw,e^xyzw, partial spartial z = xyw,e^xyzw, partial spartial w = xyz,e^xyzw

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