Questão 2. Calcule a integral dupla sobre a regiāo 0 <= y <= 1 e 0 <= x <= 1.
integral dupla x y e^x y^2 d y d x
(A) (e^2-3) / 3
(B) (e+2) / 2
(C) (e^2-2) / 2
(D) (e-3) / 2
(E) (e-2) / 2
2

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla sobre a região 0<= y<=1, 0<= x<=1:
integral dupla[0,1]times[0,1] x,y,e^x y^2;dy;dx
O método é a integração iterada, primeiro em y (tratando x como constante) e depois em x.

Passo 2

Para integrar em y, fazemos a substituição
u = x,y^2, du = 2x,y,dy ;implies; y,dy = du2x
Assim,
integral0^1 x,y,e^x y^2,dy = xintegral0^1 y,e^u,du2x = 12integralu=0^u=x e^u,du = 12l(e^x-1r)

Passo 3

Agora integramos em x:
integral0^1 12l(e^x-1r),dx = 12(integral0^1e^x,dx - integral0^11,dx) = 12l((e-1)-1r) = e-22

Passo 4

Comparando com as alternativas, o resultado tfrace-22 é a letra (E).

Resposta

(E) e-22

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