Exemplo 1.50. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, pois o denominador é um polinômio de grau 3 que pode ser fatorado.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador
. Testando raízes inteiras, vemos que
anula o polinômio. Fazendo a divisão sintética obtemos
Passo 3
Escrevemos a decomposição em frações parciais do integrando:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos a identidade
Expandindo e agrupando termos em
,
e termo constante, igualamos coeficientes e resolvemos o sistema:
Dessa forma achamos
Passo 5
Substituindo na integral, temos
Agora integramos termo a termo:
Somando tudo e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva.
Resposta
Ou, combinando os logaritmos,