Exemplo 1.50. Calcule \int \frac{x+5}{x^{3}-3 x+2} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x+5}{x^{3}-3x+2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, pois o denominador é um polinômio de grau 3 que pode ser fatorado.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador x^{3}-3x+2. Testando raízes inteiras, vemos que x=1 anula o polinômio. Fazendo a divisão sintética obtemos
x^{3}-3x+2 = (x-1)(x^{2}+x-2) = (x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^{2}(x+2).

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais do integrando:
\frac{x+5}{(x-1)^{2}(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^{2}} + \frac{C}{x+2}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}(x+2), obtemos a identidade
x+5 = A\,(x-1)(x+2) + B\,(x+2) + C\,(x-1)^{2}.
Expandindo e agrupando termos em x^{2}, x e termo constante, igualamos coeficientes e resolvemos o sistema:
\begin{cases} A + C = 0,\\\ A + B - 2C = 1,\\\\ -2A + 2B + C = 5. \end{cases}
Dessa forma achamos
A = -\tfrac{1}{3},\quad B = 2,\quad C = \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x+5}{x^{3}-3x+2}\,dx = \int \biggl(-\frac{1}{3}\frac{1}{x-1} + 2\frac{1}{(x-1)^{2}} + \frac{1}{3}\frac{1}{x+2}\biggr)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int -\frac{1}{3}\frac{1}{x-1}\,dx = -\tfrac{1}{3}\ln\lvert x-1\rvert,
\int 2\,(x-1)^{-2}\,dx = 2\cdot \bigl(-\,(x-1)^{-1}\bigr)= -\frac{2}{x-1},
\int \frac{1}{3}\frac{1}{x+2}\,dx = \tfrac{1}{3}\ln\lvert x+2\rvert.
Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Resposta

\int \frac{x+5}{x^{3}-3x+2}\,dx = -\tfrac{1}{3}\ln\lvert x-1\rvert \;+\;\tfrac{1}{3}\ln\lvert x+2\rvert \;-\;\frac{2}{x-1} \;+\; C.
Ou, combinando os logaritmos,
\boxed{ \int \frac{x+5}{x^{3}-3x+2}\,dx = \tfrac{1}{3}\ln\Bigl\lvert\frac{x+2}{x-1}\Bigr\rvert \;-\;\frac{2}{x-1} + C. }

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