Exemplo 1.41. Calcule \int x e^{-2 x} d x.
Solução: Fazendo
\begin{array}{rlrl} u & =x & d v & =e^{-2 x} d x \\\ d u & =d x & v & =\frac{-e^{-2 x}}{2} \end{array}
então
\begin{aligned} \int x e^{-2 x} d x & =\frac{-x e^{-2 x}}{2}-\int \frac{-e^{-2 x}}{2} d x \\ & =\frac{-x e^{-2 x}}{2}+\frac{1}{2} \int e^{-2 x} d x \\ & =\frac{-x e^{-2 x}}{2}-\frac{1}{4} e^{-2 x}+C \\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\,e^{-2x}\,dx
usando a técnica de integração por partes.

Passo 2

Escolhemos
u = x
porque sua derivada simplifica, e
dv = e^{-2x}\,dx
para integrar de forma direta.

Passo 3

Derivando u e integrando dv, temos
du = dx
e
v = \int e^{-2x}\,dx = \frac{-e^{-2x}}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
obtemos
\int x\,e^{-2x}\,dx = x\cdot\frac{-e^{-2x}}{2} - \int \frac{-e^{-2x}}{2}\,dx.

Passo 5

Simplificando a expressão:
\int x\,e^{-2x}\,dx = -\frac{x\,e^{-2x}}{2} + \frac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx.
Como
\int e^{-2x}\,dx = \frac{-e^{-2x}}{2},
resulta
\int x\,e^{-2x}\,dx = -\frac{x\,e^{-2x}}{2} + \frac{1}{2}\,\Bigl(\frac{-e^{-2x}}{2}\Bigr) + C.

Resposta

-\frac{x\,e^{-2x}}{2} \;-\;\frac{e^{-2x}}{4} \;+\; C.

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