1.6.4 Lista de exercícios

  1. Calcule as integrais:
    (a) \int x \cdot e^{x} d x
    (k) \int x^{n} \cdot \ln x d x
    (b) \int x^{2} \cdot e^{x} d x
    (l) \int_{1}^{2} \ln x d x
    (c) \int x^{2} \ln x d x
    (m) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cdot \cos x d x
    (d) \int x \cdot \operatorname{sec} ^{2} x d x
    (n) \int_{0}^{\frac{1}{2}} \arcsin x d x
    (e) \int x \cdot(\ln x)^{2} d x
    (o) \int_{-2}^{4} 2 x \cdot e^{x} d x
    (f) \int(\ln x)^{2} d x
    § \int_{-3}^{5}(x+1) \cdot e^{x} d x
    (g) \int x \cdot e^{2 x} d x
    (q) \int_{1}^{2}(x+1) \cdot \ln x d x
    (h) \int x^{3} \cdot e^{x^{2}} d x
    ® \int x \cdot \operatorname{sen} x d x
    (i) \int x^{3} \cdot \cos x^{2} d x
    (s) \int e^{-2 x} \cdot \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular várias integrais, algumas indefinidas e outras definidas, envolvendo produtos de polinômios, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. O principal recurso será a técnica de integração por partes, além de substituições simples para casos de e^{ax} e de funções compostas como e^{x^2} ou \cos(x^2). Para integrais definidas, avaliaremos a primitiva nos limites indicados.

Passo 2

Integrais do tipo \displaystyle \int x^n e^{ax}\,dx por partes repetidas. De fato, se escolhemos
u = x^n,\quad dv = e^{ax}\,dx,
então du = n x^{n-1}dx e v = \tfrac1a e^{ax}. Aplicando e repetindo, obtém-se as fórmulas:
\int x e^{ax}\,dx = \frac{x}{a}e^{ax} - \frac1{a^2}e^{ax} + C,
\int x^2 e^{ax}\,dx = \frac{x^2}{a}e^{ax} - \frac{2x}{a^2}e^{ax} + \frac{2}{a^3}e^{ax} + C.

Passo 3

Usando o resultado do passo 2 com a=1 e a=2:
(a) \displaystyle \int x e^x dx = x e^x - e^x + C.
(b) \displaystyle \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C.
(g) \displaystyle \int x e^{2x} dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac1{4}e^{2x} + C.

Passo 4

Integrais que envolvem (x+1)e^x ou 2x e^x se reduzem a combinações lineares de \int x e^x e \int e^x:
\int(x+1)e^x dx = \int x e^x dx + \int e^x dx
e
\int 2x e^x dx = 2\int x e^x dx.
Logo:
(o) \displaystyle \int_{-2}^{4}2x e^x dx = 2\bigl[x e^x - e^x\bigr]_{-2}^{4}.
§ \displaystyle \int_{-3}^{5}(x+1)e^x dx = \bigl[x e^x - e^x + e^x\bigr]_{-3}^{5} = \bigl[x e^x\bigr]_{-3}^{5}.

Passo 5

Integrais do tipo \displaystyle \int x^n \ln x\,dx. Seja
u = \ln x,\quad dv = x^n dx\;\Rightarrow\; du = \frac{dx}{x},\;v=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Então
\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \int \frac{x^{n+1}}{n+1}\,\frac{dx}{x} = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+C.
Aplicando:
(c) \displaystyle \int x^2\ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C.
(k) \displaystyle \int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+C.

Passo 6

Para \displaystyle \int x(\ln x)^2 dx tomamos
u=(\ln x)^2,\quad dv=x\,dx\;\Rightarrow\;du=2\frac{\ln x}{x}dx,\;v=\frac{x^2}{2}.
Logo
\int x(\ln x)^2 dx = \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int \frac{x^2}{2}\,2\frac{\ln x}{x}dx = \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int x\ln x\,dx,
e usa-se a fórmula do passo 5 para \int x\ln x\,dx.
(f) Para \displaystyle \int (\ln x)^2dx usamos
u=(\ln x)^2,\quad dv=dx\;\Rightarrow\;du=2\frac{\ln x}{x}dx,\;v=x,
resultando em
\int(\ln x)^2dx = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x\,dx = x(\ln x)^2 - 2[x\ln x - x] + C.

Passo 7

Integral definida \displaystyle \int_{1}^{2}\ln x\,dx. A primitiva é x\ln x - x. Então
\int_{1}^{2}\ln x\,dx = \bigl[x\ln x - x\bigr]_{1}^{2} = (2\ln2 -2) - (1\cdot0 -1)=2\ln2 -1.

Passo 8

\displaystyle \int_{0}^{\tfrac12}\arcsin x\,dx por partes:
u=\arcsin x,\;dv=dx\;\Rightarrow\;du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\;v=x.
\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,
avaliando entre 0 e \tfrac12.

Passo 9

\displaystyle \int x\operatorname{sen} x\,dx e \displaystyle \int e^{-2x}\operatorname{sen} x\,dx também por partes, repetindo duas vezes para chegar a uma equação que se resolve em função da própria integral.

Passo 10

\displaystyle \int x^3 e^{x^2}dx e \displaystyle \int x^3\cos(x^2)dx usam a substituição t=x^2, dt=2x\,dx, reduzindo para \int t e^t dt ou \int t\cos t dt.

Resposta

(a) x e^x - e^x + C
(b) x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C
(c) \displaystyle \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C
(d) \displaystyle \int x\operatorname{sec}^2 xdx = x\tan x - \int \tan x\,dx = x\tan x + \ln|\cos x| + C
(e) \displaystyle \int x(\ln x)^2dx = \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + C
(f) \displaystyle x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C
(g) \displaystyle \frac{x}{2}e^{2x} - \frac1{4}e^{2x} + C
(h) \displaystyle \int x^3 e^{x^2}dx = \frac12\int t e^t dt = \frac12(t e^t - e^t) + C = \frac{x^2-1}{2}e^{x^2} + C
(i) \displaystyle \int x^3\cos(x^2)dx = \frac12\int t\cos t\,dt = \frac12(t\sin t + \cos t) + C = \frac{x^2\sin(x^2)+\cos(x^2)}{2} + C
(j) — (não havia inciso j)
(k) \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C
(l) \displaystyle \int_{1}^{2}\ln xdx = 2\ln2 -1
(m) \displaystyle \int_{0}^{\frac\pi2}e^x\cos x\,dx = \tfrac12e^x(\sin x + \cos x)\Big|_{0}^{\frac\pi2} = \tfrac12\bigl[e^{\frac\pi2}(1+0) - (1+1)\bigr]
(n) \displaystyle \int_{0}^{\frac12}\arcsin x\,dx = \bigl[x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\bigr]_{0}^{\frac12} = \tfrac\pi6 + \tfrac{\sqrt3}{2} -1
(o) \displaystyle 2\bigl[x e^x - e^x\bigr]_{-2}^{4} = 2\bigl[(4e^4 - e^4) -(-2e^{-2}-e^{-2})\bigr]
§ \displaystyle \bigl[x e^x\bigr]_{-3}^{5} = 5e^5 -(-3e^{-3})
(q) \displaystyle \int_{1}^{2}(x+1)\ln x\,dx se decompõe em \int x\ln x+\int\ln x e usa as fórmulas dos incisos (c) e (l).
® \displaystyle \int x\operatorname{sen} x\,dx = -x\cos x + \sin x + C
(s) \displaystyle \int e^{-2x}\operatorname{sen} x\,dx = -\tfrac{1}{5}e^{-2x}(2\operatorname{sen} x + \cos x) + C

Exercícios relacionados