Exemplo 72. Seja f(x, y)=x^{2}-y^{2}. Obtenha, caso existam, os valores de máximo e mínimo de f.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}-y^{2} e pede para obter, caso existam, os valores de máximo e mínimo de f.
Informações relevantes fornecidas: a função está definida para todos os pares (x,y) reais (ou seja, assumimos o domínio \mathbb{R}^{2}).
Perguntas que devemos responder: existe máximo global? existe mínimo global? (Se houver, quais são os valores e onde ocorrem?)
Passo 2
Procuramos pontos críticos porque qualquer máximo ou mínimo (local ou global) interior do domínio precisa satisfazer a condição do gradiente nulo. Vou explicar isso com calma. O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais; cada componente do gradiente é a derivada de f em relação a uma variável mantendo a outra fixa. Para funções polinomiais isso é direto de calcular.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x
\frac{\partial f}{\partial y}=-2y
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=\bigl(2x,\,-2y\bigr).
A condição necessária de extremum (local) é \nabla f(x,y)=\mathbf{0}. Resolvendo:
2x=0,\qquad -2y=0
dá a solução
(x,y)=(0,0).
Logo existe exatamente um ponto crítico: (0,0). Isso não diz ainda se é máximo, mínimo ou outro tipo; só garante que é o único candidato interior.
Passo 3
Agora precisamos classificar o ponto crítico. Uma ferramenta padrão é a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais. Vou explicar: a Hessiana mede a curvatura da função nas direções e nos diz se a curvatura é para cima (mínimo), para baixo (máximo) ou mista (sela). A Hessiana é
No ponto crítico (0,0) a Hessiana tem autovalores 2 e -2 (você pode ver isso porque é diagonal). Como há autovalores com sinais opostos, a Hessiana é indefinida. A interpretação: a curvatura é positiva numa direção e negativa noutra, logo o ponto crítico é um ponto de sela, não um máximo nem um mínimo local. Outra maneira simples de ver que é sela: considere pequenas perturbações ao longo dos eixos. Para y=0 temos f(x,0)=x^{2}, que é positivo para x\neq0; para x=0 temos f(0,y)=-y^{2}, que é negativo para y\neq0. Assim em qualquer vizinhança de (0,0) aparecem valores positivos e negativos de f, o que impede ser máximo ou mínimo.]
Passo 4
Agora vamos ver se existem máximos ou mínimos globais sobre todo \mathbb{R}^{2}. Uma maneira direta é exibir sequências de pontos que levam f a crescer sem limite positivo ou negativo. Note que, tomando pontos ao longo do eixo x (ou seja, y=0),
f(t,0)=t^{2}.
À medida que t\to\infty obtemos f(t,0)\to\infty. Logo f é arbitrariamente grande positivo — não há um máximo global finito. De modo análogo, ao longo do eixo y (isto é, x=0),
f(0,t)=-t^{2},
e quando t\to\infty obtemos f(0,t)\to-\infty. Portanto f é arbitrariamente grande em negativo — não há um mínimo global finito. Outra maneira de ver isso: para qualquer número real M existe t com t^{2}>M e assim f(t,0)>M; e para qualquer menor número real m existe t com -t^{2}<m e assim f(0,t)<m. Isso prova rigorosamente que não existem máximo nem mínimo globais.
Passo 5
Resumo do que aprendemos e lembrete prático para prova: encontrar extremos globais em \mathbb{R}^{2} exige primeiro achar pontos críticos (\nabla f=0), depois classificar com a Hessiana (autovalores ou determinantes principais) para extremos locais, e por fim verificar comportamento no contorno do domínio — se o domínio é todo \mathbb{R}^{2} é comum testar se a função é limitada acima ou abaixo (como fizemos com as direções x- e y-axis). Aqui o ponto crítico (0,0) é um ponto de sela (Hessiana indefinida) e a função é não limitada tanto acima quanto abaixo, então não existem extremos globais.
Resposta
Não existe máximo global.
Não existe mínimo global.
O único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de sela (valor 0).