Exemplo 73. Seja
definida em Dom
. Obtenha, caso exista, o ponto de mínimo de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no domínio
.
A pergunta é: obter, caso exista, o(s) ponto(s) de mínimo de nesse domínio.
A pergunta é: obter, caso exista, o(s) ponto(s) de mínimo de
Passo 2
Observação inicial e estratégia (explicando sem pular etapas): para achar mínimo de uma função em um conjunto, um procedimento padrão é:
- procurar pontos críticos no interior do domínio (onde o gradiente é zero);
- analisar as fronteiras do domínio;
- comparar os valores achados e escolher o menor.
Vou seguir esse plano. Primeiro, uma observação simples sobre os termos de: como e , temos e . Portanto para todo do domínio. Isso mostra que o menor valor possível de não pode ser menor que . Agora vou ver se o valor é realmente atingido em algum ponto do domínio.
Passo 3
Verificação direta de que
é atingido: substituindo
na expressão de
obtemos
Como
é livre, todos os pontos
com
pertencem ao domínio e satisfazem
. Juntando com a observação do passo anterior (
em todo domínio), concluímos que o valor mínimo de
é
e que esse valor é atingido (pelo menos) na reta
. Antes de finalizar, confirmo que não existe algum ponto no interior que dê valor ainda menor (para garantir que não há outro minimizador interior).
Passo 4
Cálculo do gradiente e verificação de pontos críticos no interior (aula curta sobre derivadas parciais): as derivadas parciais são obtidas tratando a outra variável como constante.
- A derivada parcial de
pois derivando
em relação a
dá
e derivando
dá
.
- A derivada parcial de
em relação a é
pois derivando
em relação a
dá
e
não depende de
.
O gradiente é
. Pontos críticos internos satisfariam
, ou seja o sistema
Da segunda equação vem
, o que é impossível. Logo, não há pontos críticos no interior do domínio (onde
e
). Portanto todo mínimo, se existir, ocorre na fronteira do domínio.]
Passo 5
Análise das fronteiras (explicando como fazer na prova): o domínio tem duas arestas de fronteira relevantes e um vértice:
- aresta
com ; - aresta
com ; - vértice
(interseção das duas arestas).
Já avaliei a aresta
: para
temos
para todo
.
Agora avalio a aresta : para
temos
Agora avalio a aresta
Como
, a função
é não negativa e atinge o valor mínimo
em
. Ou seja sobre a aresta
o menor valor também é
, atingido em
. O vértice
já está incluído na descrição
com
.
Portanto, comparando todas as partes (interior e fronteira), o menor valor de
no domínio é
, atingido sempre que
e
.
Passo 6
Comentário didático curto e exemplo rápido para fixar: na prova, quando o domínio é do tipo “restrição por desigualdades” e você tem uma função polinomial simples, é prático:
- verificar sinais dos termos (às vezes já dá limites inferiores como aqui);
- checar gradiente para interior;
- checar cada aresta/fronteira.
Como exemplo rápido, pense emem : derivada dá ponto crítico e é mínimo global. No nosso caso em duas variáveis não havia ponto crítico interior, então o mínimo veio da fronteira.
Resposta
O mínimo de
no domínio é
, atingido em todos os pontos
.