Exemplo 73. Seja f(x, y)=x^{2} y+3 x definida em Dom f=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \geq 0, y \geq 0\right\}. Obtenha, caso exista, o ponto de mínimo de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}y+3x definida no domínio \mathrm{Dom}\,f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\geq0,\;y\geq0\}.
A pergunta é: obter, caso exista, o(s) ponto(s) de mínimo de f nesse domínio.

Passo 2

Observação inicial e estratégia (explicando sem pular etapas): para achar mínimo de uma função em um conjunto, um procedimento padrão é:
  1. procurar pontos críticos no interior do domínio (onde o gradiente é zero);
  2. analisar as fronteiras do domínio;
  3. comparar os valores achados e escolher o menor.
    Vou seguir esse plano. Primeiro, uma observação simples sobre os termos de f: como x\geq0 e y\geq0, temos x^{2}y\geq0 e 3x\geq0. Portanto f(x,y)=x^{2}y+3x\geq0 para todo (x,y) do domínio. Isso mostra que o menor valor possível de f não pode ser menor que 0. Agora vou ver se o valor 0 é realmente atingido em algum ponto do domínio.

Passo 3

Verificação direta de que 0 é atingido: substituindo x=0 na expressão de f obtemos
f(0,y)=0^{2}\cdot y+3\cdot 0=0.
Como y\geq0 é livre, todos os pontos (0,y) com y\geq0 pertencem ao domínio e satisfazem f(0,y)=0. Juntando com a observação do passo anterior ( f\geq0 em todo domínio), concluímos que o valor mínimo de f é 0 e que esse valor é atingido (pelo menos) na reta \{(0,y):y\ge0\}. Antes de finalizar, confirmo que não existe algum ponto no interior que dê valor ainda menor (para garantir que não há outro minimizador interior).

Passo 4

Cálculo do gradiente e verificação de pontos críticos no interior (aula curta sobre derivadas parciais): as derivadas parciais são obtidas tratando a outra variável como constante.
  • A derivada parcial de f\) em relação a \(x\) é \[\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+3,
pois derivando x^{2}y em relação a x 2x y e derivando 3x 3.
  • A derivada parcial de f em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2},
pois derivando x^{2}y em relação a y x^{2} e 3x não depende de y.
O gradiente é \nabla f=(2xy+3,\;x^{2}). Pontos críticos internos satisfariam \nabla f=(0,0), ou seja o sistema
\begin{cases} 2xy+3=0,\\[4pt] x^{2}=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x=0\]. Substituindo na primeira obtemos \(2\cdot 0\cdot y+3=3=0, o que é impossível. Logo, não há pontos críticos no interior do domínio (onde x>0 e y>0). Portanto todo mínimo, se existir, ocorre na fronteira do domínio.]

Passo 5

Análise das fronteiras (explicando como fazer na prova): o domínio tem duas arestas de fronteira relevantes e um vértice:
  • aresta x=0 com y\ge0;
  • aresta y=0 com x\ge0;
  • vértice (0,0) (interseção das duas arestas).
Já avaliei a aresta x=0: para x=0 temos f(0,y)=0 para todo y\ge0.
Agora avalio a aresta y=0: para y=0 temos
f(x,0)=x^{2}\cdot 0+3x=3x.
Como x\ge0, a função x\mapsto 3x é não negativa e atinge o valor mínimo 0 em x=0. Ou seja sobre a aresta y=0 o menor valor também é 0, atingido em (0,0). O vértice (0,0) já está incluído na descrição x=0 com y\ge0.
Portanto, comparando todas as partes (interior e fronteira), o menor valor de f no domínio é 0, atingido sempre que x=0 e y\ge0.

Passo 6

Comentário didático curto e exemplo rápido para fixar: na prova, quando o domínio é do tipo “restrição por desigualdades” e você tem uma função polinomial simples, é prático:
  1. verificar sinais dos termos (às vezes já dá limites inferiores como aqui);
  2. checar gradiente para interior;
  3. checar cada aresta/fronteira.
    Como exemplo rápido, pense em g(x)=x^{2} em \mathbb{R}: derivada g'(x)=2x dá ponto crítico x=0 e g(0)=0 é mínimo global. No nosso caso em duas variáveis não havia ponto crítico interior, então o mínimo veio da fronteira.

Resposta

O mínimo de f no domínio é 0, atingido em todos os pontos \{(0,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\geq0\}.

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