Exemplo 86. Calcule: \int_{0}^{1}\left[\int_{2}^{4} x d x\right] d y.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{2}^{4} x\,dx\right]dy.
Informações dadas:
\text{(i) a integral interna é } \int_{2}^{4} x\,dx, \text{ com variável } x \text{ e limites } 2 \text{ e } 4;éá
\text{(ii) a integral externa é } \int_{0}^{1} (\cdot)\,dy, \text{ com variável } y \text{ e limites } 0 \text{ e } 1;éá
\text{(iii) os colchetes indicam que devemos primeiro calcular a integral interna e depois integrar o resultado em } y.

Passo 2

Entendendo a integral interna e a operação que vamos usar: para calcular uma integral definida da forma
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se F(x) é uma antiderivada de f(x) (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui a nossa função é f(x)=x. Uma antiderivada de x é F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}, porque ao derivar F(x) obtemos F'(x)=x.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo à integral interna:
\int_{2}^{4} x\,dx = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{2}^{4} = \dfrac{4^{2}}{2}-\dfrac{2^{2}}{2}.
Calculemos cada termo passo a passo:
\dfrac{4^{2}}{2}=\dfrac{16}{2}=8,
\dfrac{2^{2}}{2}=\dfrac{4}{2}=2.
Subtraindo:
8-2=6.
Portanto o valor da integral interna é a constante 6. Observação importante: esse resultado é um número que não depende de y, então quando formos integrar em y ele atua como constante.

Passo 4

Agora calculamos a integral externa. Temos uma integral de uma constante em relação a y:
\int_{0}^{1} 6\,dy.
Usamos a regra que diz que integrar uma constante c em um intervalo [a,b] c(b-a), porque uma antiderivada de c é c y. Assim,
\int_{0}^{1} 6\,dy = \left.6y\right|_{0}^{1} = 6\cdot 1 - 6\cdot 0 = 6.

Resposta

6

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