Exemplo 88. Calcule:
.
Exemplo 89. Calcule:
.
Exemplo 90. Calcule:
.
Exemplo 89. Calcule:
Exemplo 90. Calcule:
Passo 1
Temos três integrais duplas para calcular. Escrevo cada enunciado claramente e listo os limites e a função integranda:
-
Exemplo 88: calcular
.
Dados:varia de a (integral interna) e varia de a (integral externa). A integranda é . -
Exemplo 89: calcular
.
Dados:varia de a (integral interna) e varia de a (integral externa). A integranda é . -
Exemplo 90: calcular
.
Dados:varia de a (integral interna) e varia de a (integral externa). A integranda é a mesma do exemplo anterior: .
O que nos pedem: avaliar cada integral dupla numéricamente, obtendo um número final para cada exemplo.
Passo 2
Conceito e regras básicas que vamos usar (explicação didática e prática):
- Uma integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada: primeiro se calcula a integral interna (em função da variável interna), tratando a outra variável como constante; depois integra-se o resultado em relação à variável externa. Isso é Fubini na prática para retângulos.
- Regras de integração elementares que usaremos:
- Regra do fator constante:
, onde é constante em relação à variável de integração. - Potência: para
, . Em particular, , . - Soma:
.
- Regra do fator constante:
- Quando a integranda contém a outra variável multiplicando (por exemplo
ao integrar em ), essa outra variável é tratada como constante durante a integração interna. Depois a função resultante será em termos da variável externa e aí integraremos normalmente.
Vou aplicar essas regras passo a passo para cada integral, mostrando todas as contas.
Passo 3
Exemplo 88 — primeiro passo: integrar em
(a integral interna). A integral interna é
Aqui
é constante em relação a
. Uso as regras:
-
-
Logo, uma primitiva emé
Agora avalio entre
e
.
Passo 4
Exemplo 88 — avaliação da integral interna nos limites e simplificação. Substituo
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Calculo os coeficientes:
Portanto a integral interna reduzida é
Passo 5
Exemplo 88 — integrar a expressão obtida em
(integral externa). Temos agora
Integro termo a termo:
Assim uma primitiva em
é
Avalio entre
e
.
Passo 6
Exemplo 88 — avaliação final dos limites em
e conclusão do exemplo 88.
Para
:
Para
:
Subtraindo
:
Portanto, o resultado do Exemplo 88 é
.
Passo 7
Exemplo 89 — primeiro passo: integrar em
(integral interna). A integral interna é
Aqui
é constante em relação a
. Uso as regras:
Portanto a primitiva em
é
Avalio entre
e
.
Passo 8
Exemplo 89 — avaliação da integral interna e simplificação. Substituo os limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Portanto a integral interna deixa uma função de
:
.
Passo 9
Exemplo 89 — integrar em
(integral externa) e finalizar. Temos
Integro termo a termo:
Uma primitiva é
. Avalio entre
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo
. Portanto o resultado do Exemplo 89 é
.
Passo 10
Exemplo 90 — primeiro passo: integrar em
(integral interna). A integral interna é
Aqui
é constante. Uso as regras:
Portanto uma primitiva em
é
Avalio entre
e
.
Passo 11
Exemplo 90 — avaliação da integral interna e simplificação. Substituo os limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Agora a integral dupla reduziu a uma integral simples em
:
Passo 12
Exemplo 90 — integrar em
(finalização) e avaliação dos limites. Integro termo a termo:
Portanto a primitiva é
. Avalio entre
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo
. Portanto o resultado do Exemplo 90 é
. Isso confirma que, trocando a ordem de integração num retângulo, obtemos o mesmo valor (como esperado pela propriedade das integrais iteradas em domínios retangulares).