Exemplo 88. Calcule: \int_{1}^{2} \int_{2}^{5}\left(x y-4 x^{2} y^{2}\right) d x d y.
Exemplo 89. Calcule: \int_{1}^{4} \int_{-1}^{2}\left(2 x+6 x^{2} y\right) d y d x.
Exemplo 90. Calcule: \int_{-1}^{2} \int_{1}^{4}\left(2 x+6 x^{2} y\right) d x d y.

Passo 1

Temos três integrais duplas para calcular. Escrevo cada enunciado claramente e listo os limites e a função integranda:
  • Exemplo 88: calcular \displaystyle \int_{1}^{2} \int_{2}^{5}\left(x y-4 x^{2} y^{2}\right) d x d y.
    Dados: x varia de \,2 a \,5 (integral interna) e y varia de \,1 a \,2 (integral externa). A integranda é \,x y-4 x^{2} y^{2}.
  • Exemplo 89: calcular \displaystyle \int_{1}^{4} \int_{-1}^{2}\left(2 x+6 x^{2} y\right) d y d x.
    Dados: y varia de -1 a 2 (integral interna) e x varia de 1 a 4 (integral externa). A integranda é \,2 x+6 x^{2} y.
  • Exemplo 90: calcular \displaystyle \int_{-1}^{2} \int_{1}^{4}\left(2 x+6 x^{2} y\right) d x d y.
    Dados: x varia de 1 a 4 (integral interna) e y varia de -1 a 2 (integral externa). A integranda é a mesma do exemplo anterior: \,2 x+6 x^{2} y.
O que nos pedem: avaliar cada integral dupla numéricamente, obtendo um número final para cada exemplo.

Passo 2

Conceito e regras básicas que vamos usar (explicação didática e prática):
  • Uma integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada: primeiro se calcula a integral interna (em função da variável interna), tratando a outra variável como constante; depois integra-se o resultado em relação à variável externa. Isso é Fubini na prática para retângulos.
  • Regras de integração elementares que usaremos:
    • Regra do fator constante: \displaystyle \int a\cdot f(t)\,dt = a\int f(t)\,dt, onde a é constante em relação à variável de integração.
    • Potência: para n\neq -1, \displaystyle \int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}. Em particular, \displaystyle \int t\,dt = \frac{t^{2}}{2}, \displaystyle \int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3}.
    • Soma: \displaystyle \int (f+g)\,dt = \int f\,dt + \int g\,dt.
  • Quando a integranda contém a outra variável multiplicando (por exemplo y ao integrar em x), essa outra variável é tratada como constante durante a integração interna. Depois a função resultante será em termos da variável externa e aí integraremos normalmente.
Vou aplicar essas regras passo a passo para cada integral, mostrando todas as contas.

Passo 3

Exemplo 88 — primeiro passo: integrar em x (a integral interna). A integral interna é
\int_{2}^{5}\left(x y-4 x^{2} y^{2}\right)\,dx.
Aqui y é constante em relação a x. Uso as regras:
  • \displaystyle \int x y\,dx = y\int x\,dx = y\cdot\frac{x^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int 4 x^{2} y^{2}\,dx = 4y^{2}\int x^{2}\,dx = 4y^{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}.
    Logo, uma primitiva em x é
\frac{y x^{2}}{2}-\frac{4 y^{2} x^{3}}{3}.
Agora avalio entre x=2 e x=5.

Passo 4

Exemplo 88 — avaliação da integral interna nos limites e simplificação. Substituo x=5 e x=2:
Para x=5:
\frac{y\cdot 5^{2}}{2}-\frac{4 y^{2}\cdot 5^{3}}{3}=\frac{25}{2}y-\frac{500}{3}y^{2}.
Para x=2:
\frac{y\cdot 2^{2}}{2}-\frac{4 y^{2}\cdot 2^{3}}{3}=\frac{4}{2}y-\frac{32}{3}y^{2}=2y-\frac{32}{3}y^{2}.
Subtraindo (valor em 5 menos valor em 2):
\left(\frac{25}{2}y-\frac{500}{3}y^{2}\right)-\left(2y-\frac{32}{3}y^{2}\right) =\left(\frac{25}{2}-2\right)y+\left(-\frac{500}{3}+\frac{32}{3}\right)y^{2}.
Calculo os coeficientes:
\frac{25}{2}-2=\frac{25-4}{2}=\frac{21}{2},\qquad -\frac{500}{3}+\frac{32}{3}=-\frac{468}{3}=-156.
Portanto a integral interna reduzida é
\frac{21}{2}y-156y^{2}.

Passo 5

Exemplo 88 — integrar a expressão obtida em y (integral externa). Temos agora
\int_{1}^{2}\left(\frac{21}{2}y-156y^{2}\right)\,dy.
Integro termo a termo:
  • \displaystyle \int \frac{21}{2}y\,dy = \frac{21}{2}\cdot\frac{y^{2}}{2}=\frac{21}{4}y^{2}.
  • \displaystyle \int 156y^{2}\,dy = 156\cdot\frac{y^{3}}{3}=52y^{3}.
Assim uma primitiva em y é
\frac{21}{4}y^{2}-52y^{3}.
Avalio entre y=1 e y=2.

Passo 6

Exemplo 88 — avaliação final dos limites em y e conclusão do exemplo 88.
Para y=2:
\frac{21}{4}\cdot 2^{2}-52\cdot 2^{3}=\frac{21}{4}\cdot 4-52\cdot 8=21-416=-395.
Para y=1:
\frac{21}{4}\cdot 1^{2}-52\cdot 1^{3}=\frac{21}{4}-52=\frac{21-208}{4}=-\frac{187}{4}.
Subtraindo F(2)-F(1):
-395-\left(-\frac{187}{4}\right)=-395+\frac{187}{4}=\frac{-1580+187}{4}=-\frac{1393}{4}.
Portanto, o resultado do Exemplo 88 é -\dfrac{1393}{4}.

Passo 7

Exemplo 89 — primeiro passo: integrar em y (integral interna). A integral interna é
\int_{-1}^{2}\left(2 x+6 x^{2} y\right)\,dy.
Aqui x é constante em relação a y. Uso as regras:
  • \displaystyle \int 2x\,dy = 2x\cdot y.
  • \displaystyle \int 6x^{2}y\,dy = 6x^{2}\cdot\frac{y^{2}}{2}=3x^{2}y^{2}.
Portanto a primitiva em y é
2x y + 3x^{2}y^{2}.
Avalio entre y=-1 e y=2.

Passo 8

Exemplo 89 — avaliação da integral interna e simplificação. Substituo os limites:
Para y=2:
2x\cdot 2 + 3x^{2}\cdot 2^{2} = 4x + 12x^{2}.
Para y=-1:
2x\cdot(-1) + 3x^{2}\cdot(-1)^{2} = -2x + 3x^{2}.
Subtraindo (valor em 2 menos valor em -1):
(4x+12x^{2}) - (-2x+3x^{2}) = 4x+12x^{2}+2x-3x^{2} = 6x + 9x^{2}.
Portanto a integral interna deixa uma função de x: \,6x+9x^{2}.

Passo 9

Exemplo 89 — integrar em x (integral externa) e finalizar. Temos
\int_{1}^{4}\left(6x+9x^{2}\right)\,dx.
Integro termo a termo:
  • \displaystyle \int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^{2}}{2}=3x^{2}.
  • \displaystyle \int 9x^{2}\,dx = 9\cdot\frac{x^{3}}{3}=3x^{3}.
Uma primitiva é 3x^{2}+3x^{3}. Avalio entre x=1 e x=4:
Para x=4:
3\cdot 4^{2} + 3\cdot 4^{3} = 3\cdot 16 + 3\cdot 64 = 48 + 192 = 240.
Para x=1:
3\cdot 1^{2} + 3\cdot 1^{3} = 3 + 3 = 6.
Subtraindo 240-6=234. Portanto o resultado do Exemplo 89 é 234.

Passo 10

Exemplo 90 — primeiro passo: integrar em x (integral interna). A integral interna é
\int_{1}^{4}\left(2 x+6 x^{2} y\right)\,dx.
Aqui y é constante. Uso as regras:
  • \displaystyle \int 2x\,dx = x^{2}.
  • \displaystyle \int 6x^{2}y\,dx = 6y\cdot\frac{x^{3}}{3}=2y x^{3}.
Portanto uma primitiva em x é
x^{2}+2y x^{3}.
Avalio entre x=1 e x=4.

Passo 11

Exemplo 90 — avaliação da integral interna e simplificação. Substituo os limites:
Para x=4:
4^{2} + 2y\cdot 4^{3} = 16 + 2y\cdot 64 = 16 + 128y.
Para x=1:
1^{2} + 2y\cdot 1^{3} = 1 + 2y.
Subtraindo (valor em 4 menos valor em 1):
(16+128y)-(1+2y) = 15 + 126y.
Agora a integral dupla reduziu a uma integral simples em y:
\int_{-1}^{2}\left(15+126y\right)\,dy.

Passo 12

Exemplo 90 — integrar em y (finalização) e avaliação dos limites. Integro termo a termo:
  • \displaystyle \int 15\,dy = 15y.
  • \displaystyle \int 126y\,dy = 126\cdot\frac{y^{2}}{2}=63y^{2}.
Portanto a primitiva é 15y+63y^{2}. Avalio entre y=-1 e y=2:
Para y=2:
15\cdot 2 + 63\cdot 2^{2} = 30 + 63\cdot 4 = 30 + 252 = 282.
Para y=-1:
15\cdot(-1) + 63\cdot(-1)^{2} = -15 + 63 = 48.
Subtraindo 282-48=234. Portanto o resultado do Exemplo 90 é 234. Isso confirma que, trocando a ordem de integração num retângulo, obtemos o mesmo valor (como esperado pela propriedade das integrais iteradas em domínios retangulares).

Resposta

-\dfrac{1393}{4}
234
234

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