Exemplo 91. Calcule: \int_{0}^{1}\left[\int_{x}^{2 x} x d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{x}^{2 x} x\, d y\right] d x.
Informações dadas:
\text{integrando interno: }x,\quad \text{variável de integração interna: }y,\quad \text{limites internos: }y=x\text{ até }y=2x,áçãé
\text{variável de integração externa: }x,\quad \text{limites externos: }x=0\text{ até }x=1.áçãé
Queremos o valor numérico dessa integral dupla iterada.

Passo 2

Entendendo a integral interna: quando integramos em relação a y um integrando que não depende de y (isto é, uma constante em relação a y), usamos a propriedade
\int_{a}^{b} c\, dy = c\,(b-a),
onde c é uma constante em relação a y, a e b são limites numéricos, e o resultado é essa constante multiplicada pelo comprimento do intervalo [a,b]. Exemplo rápido para fixar: \int_{1}^{3} 5\,dy = 5\cdot(3-1)=10.

Passo 3

Aplicando isso à integral interna \int_{x}^{2x} x\,dy: aqui x é constante quando integramos em y. Portanto
\int_{x}^{2x} x\,dy = x\cdot(2x - x).

Passo 4

Calculando o resultado obtido:
x\cdot(2x - x)=x\cdot x = x^{2}.
Assim a integral iterada se reduz a uma integral simples em x:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.

Passo 5

Para integrar x^{2} usamos a regra do polinômio (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=2, logo uma antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando nos limites de 0 a 1:
\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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