Dê um exemplo algébrico de cada tipo de função.
(d) Função polinomial de grau

Passo 1

O enunciado pede um exemplo algébrico de uma função polinomial de grau (ou seja, apresentar uma função que seja polinomial e indicar seu grau). As informações relevantes são:
  • Precisa ser um exemplo algébrico (uma expressão da forma usual com potências de x).
  • Deve ser uma função polinomial e deve ficar claro qual é o grau (o maior expoente de x com coeficiente não nulo).

Passo 2

O que é, formalmente, uma função polinomial? Vou explicar passo a passo e com calma.
Uma função polinomial em x é uma função que pode ser escrita como soma finita de termos da forma coeficiente vezes potência inteira não negativa de x. A forma geral é
p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,
onde:
  • \;n é um inteiro não negativo (o grau do polinômio),
  • \;a_n,a_{n-1},\dots,a_1,a_0 são constantes (os coeficientes), normalmente considerados números reais,
  • \;a_n\neq0 (isso garante que o grau realmente seja n).
Explicando cada parte:
  • O termo a_n x^n é o termo de maior potência; seu coeficiente a_n chama-se coeficiente líder (ou coeficiente principal).
  • O grau do polinômio é n, que é o maior expoente com coeficiente não nulo.
  • Se n=0 tem-se uma constante; se n=1 é uma afim (reta); se n=2 é quadrática; etc.

Passo 3

Por que essa forma vale para qualquer polinômio? Porque polinômios são combinações lineares das potências 1,x,x^2,\dots,x^n. Essas potências são funções bem definidas para todo x\in\mathbb{R}, então o polinômio está definido em todo o conjunto dos reais (domínio típico \mathbb{R}).

Passo 4

Vou dar exemplos concretos para fixar a ideia (cada exemplo mostra o grau explicitamente):
  • Grau 0 (constante): \;p(x)=5. Aqui o grau é 0.
  • Grau 1 (afim): \;p(x)=3x-1. Aqui o grau é 1.
  • Grau 2 (quadrática): \;p(x)=x^2-4x+7. Aqui o grau é 2.
  • Grau 3 (cúbica): \;p(x)=2x^3- x^2 + 5. Aqui o grau é 3.
  • Grau 4 (exemplo mais geral): \;p(x)=2x^4-3x^2+x-5. Aqui o grau é 4.
Em qualquer um desses exemplos, para identificar o grau basta olhar o maior expoente de x cujo coeficiente é diferente de zero.

Passo 5

Como escolher um exemplo “algébrico” para a prova sem erro: escreva a expressão na forma polinomial (somando termos com potências inteiras não negativas) e destaque o maior expoente com coeficiente não nulo. Por exemplo, se escreveres \;p(x)=x^5+2x^3-7, então o grau é 5 (porque o termo de maior potência é x^5 e seu coeficiente é 1\neq0).

Passo 6

Resumo final: a forma geral e um exemplo que deixa claro o grau. Usa isso na prova: apresenta a forma geral e em seguida dá um exemplo concreto indicando o grau (como nos exemplos acima). Relaxa — se escreveres algo na forma mostrada, estará correto.

Resposta

p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,\qquad a_n\neq0

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