(3.0) Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI),
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y=x^{2}+\operatorname{sen}(x) \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o Problema de Valor Inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime\prime}+4y=x^{2}+\operatorname{sen}(x),\\[4pt] y(0)=0,\;y^{\prime}(0)=1. \end{array}\right.
Perguntas claras:
  • Encontrar a solução y(x) definida por essa EDO de segunda ordem com as condições iniciais dadas.
    Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear, de coeficientes constantes, com termo não-homogêneo x^{2}+\operatorname{sen}(x).
  • As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=1.]

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+4y=0.
Método: procurar soluções da forma e^{rx}. A equação característica é
r^{2}+4=0.
As raízes são r=\pm 2\mathrm{i}. Para raízes puramente imaginárias \pm \mathrm{i}\omega a solução geral é combinação linear de \cos(\omega x) e \sin(\omega x). Aqui \omega=2, logo a solução homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1},C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Breve explicação do passo: a transformação com e^{rx} transforma a EDO homogênea num polinômio em r; raízes complexas conjugadas geram combinação de cosseno e seno com frequência dada pela parte imaginária.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_{p} da equação completa
y^{\prime\prime}+4y=x^{2}+\operatorname{sen}(x).
Como o lado direito é soma de duas funções ( x^{2} e \operatorname{sen} x), por linearidade podemos buscar
y_{p}=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)},
onde y_{p}^{(1)} atende ao termo x^{2} e y_{p}^{(2)} ao termo \operatorname{sen} x. Vou usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients).
Regra prática usada aqui:
  • Para um polinômio de grau n tenta-se um polinômio de grau n.
  • Para \operatorname{sen}(\alpha x) tenta-se A\cos(\alpha x)+B\operatorname{sen}(\alpha x).
  • Se alguma parte da tentativa pertence ao espaço das soluções homogêneas, multiplica-se por potências de x. Aqui não há ressonância porque as frequências são diferentes: homogênea tem frequência 2, e o termo \operatorname{sen} x tem frequência 1. Portanto não há necessidade de multiplicar por x.

Passo 4

Encontrar y_{p}^{(1)} para o termo polinomial x^{2}.
Tentar
y_{p}^{(1)}(x)=a x^{2}+b x+c,
com a,b,c constantes a determinar.
Calcular derivadas:
y_{p}^{(1)\prime}(x)=2a x + b, \qquad y_{p}^{(1)\prime\prime}(x)=2a.
Aplicar o operador L[y]=y''+4y:
L[y_{p}^{(1)}]=2a + 4(ax^{2}+bx+c)=4a x^{2} + 4b x + (2a+4c).
Esse resultado deve igualar à parte polinomial do lado direito, isto é x^{2}. Igualando coeficientes termo a termo:
  • Coeficiente de x^{2}: 4a = 1 \Rightarrow a=\dfrac{1}{4}.
  • Coeficiente de x: 4b = 0 \Rightarrow b=0.
  • Termo constante: 2a+4c = 0 \Rightarrow 2\cdot\dfrac{1}{4}+4c=0 \Rightarrow \dfrac{1}{2}+4c=0 \Rightarrow c=-\dfrac{1}{8}.
Logo
y_{p}^{(1)}(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}-\dfrac{1}{8}.

Passo 5

Encontrar y_{p}^{(2)} para o termo \operatorname{sen} x.
Tentar
y_{p}^{(2)}(x)=A\cos x + B\operatorname{sen} x,
com A,B constantes.
Derivadas:
y_{p}^{(2)\prime}(x)=-A\sin x + B\cos x, \qquad y_{p}^{(2)\prime\prime}(x)=-A\cos x - B\sin x.
Aplicar o operador:
L[y_{p}^{(2)}]=(-A\cos x - B\sin x)+4(A\cos x + B\sin x)=(3A)\cos x + (3B)\sin x.
Queremos que isso seja igual a \operatorname{sen} x, isto é 0\cdot\cos x + 1\cdot\sin x. Igualando coeficientes:
3A=0 \Rightarrow A=0,\qquad 3B=1 \Rightarrow B=\dfrac{1}{3}.
Portanto
y_{p}^{(2)}(x)=\dfrac{1}{3}\operatorname{sen} x.

Passo 6

Somando as partes particulares obtemos
y_{p}(x)=y_{p}^{(1)}(x)+y_{p}^{(2)}(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}\operatorname{sen} x.
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+\dfrac{1}{4}x^{2}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}\operatorname{sen} x.

Passo 7

Determinar C_{1} e C_{2} pelas condições iniciais.
Usar y(0)=0. Avaliando y(0):
y(0)=C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 + \dfrac{1}{4}\cdot 0^{2}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}\operatorname{sen} 0 = C_{1}\cdot 1 + 0 + 0 -\dfrac{1}{8}+0 = C_{1}-\dfrac{1}{8}.
Como y(0)=0, segue
C_{1}-\dfrac{1}{8}=0 \Rightarrow C_{1}=\dfrac{1}{8}.
Agora usar y'(0)=1. Primeiro calculamos y'(x) derivando termo a termo:
y'(x)=-2C_{1}\sin(2x)+2C_{2}\cos(2x)+\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{3}\cos x.
Avaliar em x=0:
y'(0)=-2C_{1}\cdot 0 + 2C_{2}\cdot 1 + 0 + \dfrac{1}{3}\cdot 1 = 2C_{2} + \dfrac{1}{3}.
Impondo y'(0)=1:
2C_{2}+\dfrac{1}{3}=1 \Rightarrow 2C_{2}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow C_{2}=\dfrac{1}{3}.

Passo 8

Substituindo C_{1}=\dfrac{1}{8} e C_{2}=\dfrac{1}{3} na solução geral obtemos a solução única do PVI:
y(x)=\dfrac{1}{8}\cos(2x)+\dfrac{1}{3}\sin(2x)+\dfrac{1}{4}x^{2}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}\operatorname{sen} x.
Pequena verificação mental: em x=0 y(0)=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}=0; derivada em 0 deu 1 conforme calculado. Portanto as condições iniciais estão satisfeitas.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{8}\cos(2x)+\dfrac{1}{3}\sin(2x)+\dfrac{1}{4}x^{2}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}\operatorname{sen} x.

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