(3.0) Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI),
Passo 1
O enunciado dá o Problema de Valor Inicial (PVI)
Perguntas claras:
- Encontrar a solução
definida por essa EDO de segunda ordem com as condições iniciais dadas.
Informações relevantes fornecidas: - A equação é linear, de coeficientes constantes, com termo não-homogêneo
. - As condições iniciais são
e .]
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
Método: procurar soluções da forma
. A equação característica é
As raízes são
. Para raízes puramente imaginárias
a solução geral é combinação linear de
e
. Aqui
, logo a solução homogênea é
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Breve explicação do passo: a transformação com
transforma a EDO homogênea num polinômio em
; raízes complexas conjugadas geram combinação de cosseno e seno com frequência dada pela parte imaginária.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa
Como o lado direito é soma de duas funções (
e
), por linearidade podemos buscar
onde
atende ao termo
e
ao termo
. Vou usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients).
Regra prática usada aqui:
- Para um polinômio de grau
tenta-se um polinômio de grau . - Para
tenta-se . - Se alguma parte da tentativa pertence ao espaço das soluções homogêneas, multiplica-se por potências de
. Aqui não há ressonância porque as frequências são diferentes: homogênea tem frequência , e o termo tem frequência . Portanto não há necessidade de multiplicar por .
Passo 4
Encontrar
para o termo polinomial
.
Tentar
com
constantes a determinar.
Calcular derivadas:
Aplicar o operador
:
Esse resultado deve igualar à parte polinomial do lado direito, isto é
. Igualando coeficientes termo a termo:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Logo
Passo 5
Encontrar
para o termo
.
Tentar
com
constantes.
Derivadas:
Aplicar o operador:
Queremos que isso seja igual a
, isto é
. Igualando coeficientes:
Portanto
Passo 6
Somando as partes particulares obtemos
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
Passo 7
Determinar
e
pelas condições iniciais.
Usar
. Avaliando
:
Como
, segue
Agora usar
. Primeiro calculamos
derivando termo a termo:
Avaliar em
:
Impondo
:
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução única do PVI:
Pequena verificação mental: em
dá
; derivada em
deu
conforme calculado. Portanto as condições iniciais estão satisfeitas.