Use o Método de Redução de Ordem para encontrar uma segunda soluçāo da equaçāo diferencial
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0, \quad x>0,
sabendo que uma soluçāo da EDL é uma das funções y(x)=x^{1 / 2} ou y(x)=x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-3xy'+4y=0,\qquad x>0,
e informa que uma das funções propostas y(x)=x^{1/2} ou y(x)=x^{2} é solução. O que é pedido: encontrar uma segunda solução linearmente independente usando o Método de Redução de Ordem. Informações relevantes dadas:
  • A EDO é linear e homogênea de segunda ordem com coeficientes não constantes.
  • O domínio é x>0.
  • Uma das funções entre \,x^{1/2}\, e \,x^{2}\, é solução (preciso verificar qual).

Passo 2

Verificar qual das funções propostas realmente satisfaz a equação (substituição direta). Primeiro testar y(x)=x^{2}.
Calcular derivadas:
y=x^{2},\qquad y'=2x,\qquad y''=2.
Substituir em \,x^{2}y''-3xy'+4y\,:
x^{2}\cdot 2 -3x\cdot(2x)+4\cdot x^{2} = 2x^{2}-6x^{2}+4x^{2}=0.
Portanto \,y_{1}(x)=x^{2}\, é de fato solução. Agora, por segurança, verificar y(x)=x^{1/2} (só para confirmar que não é solução):
y=x^{1/2},\quad y'=\tfrac{1}{2}x^{-1/2},\quad y''=-\tfrac{1}{4}x^{-3/2},
x^{2}y''-3xy'+4y = (-\tfrac{1}{4}x^{1/2}) -\tfrac{3}{2}x^{1/2}+4x^{1/2} = \tfrac{9}{4}x^{1/2}\neq0.
Logo apenas \,x^{2}\, é solução dentre as duas dadas. Agora usar redução de ordem com y_{1}(x)=x^{2}.

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0 dividindo por x^{2}:
y''-\frac{3}{x}y'+\frac{4}{x^{2}}y=0.
Aqui
p(x)=-\frac{3}{x},\qquad q(x)=\frac{4}{x^{2}}.
Método de Redução de Ordem (idea): supondo y_{1} conhecido, procurar uma segunda solução da forma
y(x)=u(x)\,y_{1}(x).
Ao substituir essa forma na equação, o termo em u (sem derivadas) cancela porque y_{1} satisfaz a EDO; sobra uma equação de ordem reduzida para u'. Vou executar isso passo a passo.

Passo 4

Fazer a ansatz y=u\,y_{1}=u\,x^{2}. Calcular derivadas:
y' = u' x^{2} + u\cdot 2x,
y'' = u'' x^{2} + 2u' \cdot 2x + u\cdot 2.
Substituir na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0:
\bigl(u''x^{2}+4xu'+2u\bigr) + \left(-\frac{3}{x}\right)\bigl(u'x^{2}+2ux\bigr) + \frac{4}{x^{2}}(u x^{2})=0.
Agrupar termos por poderes de derivada de u:
  • Coeficiente de u'': x^{2}.
  • Coeficiente de u': 4x - \frac{3}{x}\cdot x^{2} = 4x -3x = x.
  • Coeficiente de u: 2 -\frac{3}{x}\cdot 2x +4 = 2 -6 +4 =0.
    O termo em u realmente cancelou (boa!). Assim obtemos a equação reduzida
x^{2}u'' + x\,u' = 0.

Passo 5

Reduzir a ordem definindo w=u'. Então u''=w' e a equação vira
x^{2}w' + x w = 0.
Isso é uma equação de primeira ordem linear para w. Podemos reescrever como
w' + \frac{1}{x}w = 0.
Equações da forma w' + r(x) w = 0 têm solução w=C\exp\!\bigl(-\int r(x)\,dx\bigr). Aqui r(x)=\tfrac{1}{x}, logo
\int r(x)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln x.
Assim
w = u' = C\,e^{-\ln x} = C\,\frac{1}{x}.
Pode-se tomar a constante multiplicativa C igual a 1 para obter uma segunda solução particular (constante global será absorvida na combinação linear final), portanto escolherei C=1 para simplicidade:
u' = \frac{1}{x}.

Passo 6

Integrar para obter u:
u(x)=\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C_{1}.
Como estamos procurando uma segunda solução linearmente independente de y_{1}, podemos desprezar a constante aditiva C_{1} (pois u= constante corresponderia a múltiplo de y_{1}). Assim tomar u(x)=\ln x dá uma segunda solução
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x)=x^{2}\ln x.

Passo 7

Verificar independência linear (opcional, mas educativo). Calcular o Wronskiano W(y_{1},y_{2}):
y_{1}=x^{2},\quad y_{1}'=2x,
y_{2}=x^{2}\ln x,\quad y_{2}'=2x\ln x + x.
O Wronskiano é
W=\begin{vmatrix} x^{2} & x^{2}\ln x \\[4pt] 2x & 2x\ln x + x \end{vmatrix} = x^{2}\bigl(2x\ln x + x\bigr) - x^{2}\ln x\cdot 2x = x^{3}.
Como W=x^{3}\neq0 para x>0, as soluções são linearmente independentes e formam uma base de soluções. A solução geral é, portanto,
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{2}\ln x.]

Resposta

y_{2}(x)=x^{2}\ln x

Exercícios relacionados