Exemplo 4
Analise os pontos críticos de
Analise os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado pede: analisar os pontos críticos da função
Informações dadas:
A tarefa é encontrar todos os pontos
onde a derivada parcial se anula (ou não existe) — ou seja, os pontos críticos — e classificá‑los (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
Passo 2
Definição e método (explicação didática): em funções de duas variáveis, um ponto
é ponto crítico se o gradiente se anula ali (ou alguma parcial não existe). O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Para achar pontos críticos resolvemos o sistema
Agora calculamos as derivadas parciais de
. Para lembrar:
trata
como constante e deriva em relação a
;
trata
como constante e deriva em relação a
.
Calculemos:
Passo 3
Resolver o sistema das derivadas = 0:
Podemos simplificar dividindo por
:
Isolando
e
:
Substituímos uma na outra. Por exemplo, substituindo
em
:
Reescrevendo:
Dessa equação temos duas possibilidades reais:
-
. Nesse caso , dando o ponto crítico . -
. Então , dando o ponto crítico .
Não surgiram outros pontos reais (as outras raízes de
são complexas), então os pontos críticos reais são
Passo 4
Agora vamos classificar cada ponto crítico. Usamos o teste das derivadas segundas (teste de Hessiano) para funções de duas variáveis. Primeiro calculamos as derivadas segundas:
O determinante do Hessiano (às vezes chamado
) é
A regra de classificação é:
- Se
e em então há mínimo local. - Se
e então há máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 5
Avaliamos
e
em cada ponto crítico.
Para
:
Então
Como
, concluímos que
é um ponto de sela.
Para
:
Então
Como
e
, concluímos que
é um mínimo local.
Passo 6
Para informação adicional (útil em provas): os valores de
nesses pontos são
Observação rápida: a função é polinomial de grau 3, portanto não é limitada abaixo nem acima globalmente (por exemplo vai para
ao seguir certas direções), então o mínimo em
é apenas local, não necessariamente global.