Exemplo 4
Analise os pontos críticos de
f(x, y)=x^{3}+y^{3}-12 x y

Passo 1

O enunciado pede: analisar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{3}+y^{3}-12xy.
Informações dadas:
f(x,y)=x^{3}+y^{3}-12xy
A tarefa é encontrar todos os pontos (x,y) onde a derivada parcial se anula (ou não existe) — ou seja, os pontos críticos — e classificá‑los (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).

Passo 2

Definição e método (explicação didática): em funções de duas variáveis, um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico se o gradiente se anula ali (ou alguma parcial não existe). O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Para achar pontos críticos resolvemos o sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Agora calculamos as derivadas parciais de f. Para lembrar: \frac{\partial f}{\partial x} trata y como constante e deriva em relação a x; \frac{\partial f}{\partial y} trata x como constante e deriva em relação a y.
Calculemos:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-12y,
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-12x.

Passo 3

Resolver o sistema das derivadas = 0:
3x^{2}-12y=0,\qquad 3y^{2}-12x=0.
Podemos simplificar dividindo por 3:
x^{2}-4y=0,\qquad y^{2}-4x=0.
Isolando y e x:
y=\frac{1}{4}x^{2},\qquad x=\frac{1}{4}y^{2}.
Substituímos uma na outra. Por exemplo, substituindo x=\tfrac{1}{4}y^{2} em y=\tfrac{1}{4}x^{2}:
y=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}y^{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{16}y^{4}=\frac{1}{64}y^{4}.
Reescrevendo:
\frac{1}{64}y^{4}-y=0 \quad\Rightarrow\quad y\!\left(\frac{1}{64}y^{3}-1\right)=0.
Dessa equação temos duas possibilidades reais:
  1. y=0. Nesse caso x=\tfrac{1}{4}y^{2}=0, dando o ponto crítico (0,0).
  2. \dfrac{1}{64}y^{3}=1\Rightarrow y^{3}=64\Rightarrow y=4. Então x=\tfrac{1}{4}y^{2}=\tfrac{1}{4}\cdot 16=4, dando o ponto crítico (4,4).
Não surgiram outros pontos reais (as outras raízes de y^{3}=64 são complexas), então os pontos críticos reais são
(0,0)\quad\text{e}\quad(4,4).

Passo 4

Agora vamos classificar cada ponto crítico. Usamos o teste das derivadas segundas (teste de Hessiano) para funções de duas variáveis. Primeiro calculamos as derivadas segundas:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=f_{xx}=6x,
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=f_{yy}=6y,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=f_{xy}=-12.
O determinante do Hessiano (às vezes chamado D) é
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
A regra de classificação é:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 em (x_0,y_0) então há mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 5

Avaliamos D e f_{xx} em cada ponto crítico.
Para (0,0):
f_{xx}(0,0)=6\cdot 0=0,
f_{yy}(0,0)=6\cdot 0=0,
f_{xy}(0,0)=-12.
Então
D(0,0)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=0\cdot 0-(-12)^{2}=-144<0.
Como D(0,0)<0, concluímos que (0,0) é um ponto de sela.
Para (4,4):
f_{xx}(4,4)=6\cdot 4=24,
f_{yy}(4,4)=6\cdot 4=24,
f_{xy}(4,4)=-12.
Então
D(4,4)=24\cdot 24-(-12)^{2}=576-144=432>0.
Como D(4,4)>0 e f_{xx}(4,4)=24>0, concluímos que (4,4) é um mínimo local.

Passo 6

Para informação adicional (útil em provas): os valores de f nesses pontos são
f(0,0)=0,
f(4,4)=4^{3}+4^{3}-12\cdot 4\cdot 4=64+64-192=-64.
Observação rápida: a função é polinomial de grau 3, portanto não é limitada abaixo nem acima globalmente (por exemplo vai para -\infty ao seguir certas direções), então o mínimo em (4,4) é apenas local, não necessariamente global.

Resposta

(0,0): ponto de sela.
(4,4): mínimo local (valor f(4,4)=-64).

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