Exemplo 7: Uma barra de aço circular com 50 cm de comprimento e 22,6 \mathrm{~mm} de diâmetro, solicitada por uma força de tração de 8.000 kg , apresenta num comprimento de 20 cm um alongamento de 0,19 \mathrm{~mm}. Calcular a tensão atuante (\sigma), o alongamento relativo (\varepsilon), o módulo de elasticidade (E). Finalmente, determinar a resistência de ruptura e o alongamento percentual, tendo a peça rompido sob a carga de 16.600 kg e sendo, então, a distância entre as referências de 24,6 \mathrm{~cm}.
\begin{aligned} & \sigma=\mathrm{P} / \mathrm{A}=8.000 /\left(\pi \times 2,26^{2} / 4\right)=1.994 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2} . \\\ & \varepsilon=\Delta \mathrm{L} / \mathrm{L}=0,019 / 20=0,00095 . \\\ & \mathrm{E}=1 / \alpha=\sigma / \varepsilon=2.000 / 0,00095=2.105 .263 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2} \\\ & \sigma_{\mathrm{r}}=\mathrm{P}_{\text {máx }} / \mathrm{A}_{\mathrm{o}}=16.600 /\left(\pi \times 2.26^{2} / 4\right)=4.138 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2} . \\\ & \begin{aligned} & \delta_{\%}=\quad \text { a) } \quad \begin{array}{r} \text { Uma barra de aço circular com } 50 \mathrm{~cm} \text { de comprimento e } 22,6 \mathrm{~mm} \text { de diâmetro, solicitada por } \\\ \text { uma força de tração de } 8.000 \mathrm{~kg}, \text { apresenta num comprimento de } 20 \mathrm{~cm} \text { um alongamento de } \\\ \\\ \text { } \\\ \text { (E) }, \text { Finalmente, determinar a resistência de ruptura e o alongamento percentual, tendo a peça } \\\ \text { rompido sob a carga de } 16.600 \mathrm{~kg} \text { e sendo, então, a distância entre as referências de } 24,6 \mathrm{~cm} . \end{array} \\\ & \sigma=\mathrm{P} / \mathrm{A}=8.000 /\left(\pi \times 2,26^{2} / 4\right)=1.994 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2} . \\\ & \varepsilon= \Delta \mathrm{L} / \mathrm{L}=0,019 / 20=0,00095 . \\\ & \mathrm{E}= 1 / \alpha=\sigma / \varepsilon=2.000 / 0,00095=2.105 .263 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2} \\\ & \sigma_{\mathrm{r}}= \mathrm{P}_{\text {máx }} / \mathrm{A}_{\mathrm{o}}=16.600 /\left(\pi \times 2.26^{2} / 4\right)=4.138 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2} . \\\ & \delta_{\%}= 100 . \Delta \mathrm{L} / \mathrm{L}_{\mathrm{o}}=100 \times(24,6-20) / 20=23 \% . \end{aligned} \end{aligned}áçâççãêçãâêá

Passo 1

O enunciado trata de uma barra circular de aço sujeita à tração, e pede para calcular a tensão normal \sigma, o alongamento relativo \varepsilon, o módulo de elasticidade E, a tensão de ruptura \sigma_{r} e o alongamento percentual \delta_{\%}. O conteúdo envolvido é Resistência dos Materiais (trabalho com tensão e deformação uniaxial) e Física da Elasticidade (Lei de Hooke).

Passo 2

Antes de tudo, calculamos a área da seção transversal. O diâmetro é 22{,}6\text{ mm}=2{,}26\text{ cm}, logo
A = \frac{\pi\,d^{2}}{4} = \frac{\pi\times(2{,}26)^{2}}{4}\\ \text{cm}^{2}\approx 4{,}01\\ \text{cm}^{2}.

Passo 3

A tensão normal é dada por \sigma = P/A. Tomando P=8\,000\text{ kgf},
\sigma = \frac{8\,000}{4{,}01}\\ \text{kgf/cm}^{2}\approx1\,994\\ \text{kgf/cm}^{2}.

Passo 4

O alongamento relativo é \varepsilon = \Delta L / L_{0}. O enunciado dá \Delta L=0{,}19\text{ mm}=0{,}019\text{ cm} sobre L_{0}=20\text{ cm},
\varepsilon = \frac{0{,}019}{20} = 9{,}5\times10^{-4}.

Passo 5

Pela Lei de Hooke, o módulo de elasticidade é E=\sigma/\varepsilon. Portanto,
E = \frac{1\,994}{9{,}5\times10^{-4}}\\ \text{kgf/cm}^{2}\approx2{,}10\times10^{6}\\ \text{kgf/cm}^{2}.

Passo 6

A tensão de ruptura usa a carga máxima P_{\max}=16\,600\text{ kgf} sobre a mesma área inicial:
\sigma_{r} = \frac{16\,600}{4{,}01}\\ \text{kgf/cm}^{2}\approx4\,138\\ \text{kgf/cm}^{2}.

Passo 7

O alongamento percentual é
\delta_{\%}=100\times\frac{\Delta L_{\text{ruptura}}}{L_{0}} =100\times\frac{24{,}6-20}{20}=23\%.

Resposta

\displaystyle \sigma\approx1\,994\\ \text{kgf/cm}^{2} \displaystyle \varepsilon=9{,}5\times10^{-4} \displaystyle E\approx2{,}10\times10^{6}\\ \text{kgf/cm}^{2} \displaystyle \sigma_{r}\approx4\,138\\ \text{kgf/cm}^{2} \displaystyle \delta_{\%}=23\%

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