Classifique as seguintes equações diferenciais em separáveis (S), lineares (L), exatas (E) ou nenhum dos tipos (N). y^{-1} d y+y e^{\cos x} \sin x d x=0
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial
y^{-1}\,dy + y\,e^{\cos x}\sin x\,dx = 0
nos tipos separável (S), linear (L), exata (E) ou nenhum dos anteriores (N).
Passo 2
Vamos escrever em forma explícita de derivada. Dividindo tudo por dx, temos
y^{-1}\,\frac{dy}{dx} + y\,e^{\cos x}\sin x = 0
ou ainda
\frac{dy}{dx} + y^2\,e^{\cos x}\sin x = 0.
Passo 3
Para verificar se é separável, escrevemos
\frac{dy}{dx} = -\,y^2\,e^{\cos x}\sin x.
Isso pode ser rearranjado em
\frac{dy}{y^2} = -\,e^{\cos x}\sin x\,dx,
em que o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x. Logo, a equação é separável.
Passo 4
Para verificar se é linear, tentaríamos uma forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Mas aqui temos \frac{dy}{dx} + y^2\,e^{\cos x}\sin x = 0, o termo em y^2 impede ser linear em y. Portanto não é linear.