Classifique as seguintes equações diferenciais em separáveis (S), lineares (L), exatas (E) ou nenhum dos tipos (N).
y^{-1} d y+y e^{\cos x} \sin x d x=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
y^{-1}\,dy + y\,e^{\cos x}\sin x\,dx = 0
nos tipos separável (S), linear (L), exata (E) ou nenhum dos anteriores (N).

Passo 2

Vamos escrever em forma explícita de derivada. Dividindo tudo por dx, temos
y^{-1}\,\frac{dy}{dx} + y\,e^{\cos x}\sin x = 0
ou ainda
\frac{dy}{dx} + y^2\,e^{\cos x}\sin x = 0.

Passo 3

Para verificar se é separável, escrevemos
\frac{dy}{dx} = -\,y^2\,e^{\cos x}\sin x.
Isso pode ser rearranjado em
\frac{dy}{y^2} = -\,e^{\cos x}\sin x\,dx,
em que o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x. Logo, a equação é separável.

Passo 4

Para verificar se é linear, tentaríamos uma forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Mas aqui temos \frac{dy}{dx} + y^2\,e^{\cos x}\sin x = 0, o termo em y^2 impede ser linear em y. Portanto não é linear.

Passo 5

Para verificar se é exata, consideramos a forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com M = y\,e^{\cos x}\sin x e N = y^{-1}. Então
\frac{\partial M}{\partial y} = e^{\cos x}\sin x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 0,
que não coincidem. Logo não é exata.

Resposta

S

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