1. (1.0 pt.) Para o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=3 y^{2 / 3} \\\ y(2)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx} = 3\,y^{2/3},\\\ y(2)=0. \end{cases}
O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis, e vamos precisar (1) reconhecer que existe a solução trivial y\equiv0 e (2) separar variáveis para encontrar a solução geral.

Passo 2

Verificamos primeiro a solução trivial y(x)=0. De fato, se y(x)=0 então \frac{dy}{dx}=0 e o lado direito 3\,y^{2/3}=0, logo a equação é satisfeita e y(2)=0.

Passo 3

Para achar a solução não trivial, se y\neq0 podemos separar as variáveis:
\frac{dy}{y^{2/3}} = 3\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int y^{-2/3}\,dy = \int 3\,dx.

Passo 4

Calculando as integrais,
\int y^{-2/3}\,dy = \frac{y^{1/3}}{\tfrac{1}{3}} = 3\,y^{1/3}, \quad \int 3\,dx = 3x + C.
Logo
3\,y^{1/3} = 3x + C \quad\Longrightarrow\quad y^{1/3} = x + C_1,
onde C_1 = C/3. Elevando ao cubo,
y(x) = (\,x + C_1\,)^3.

Passo 5

Impondo a condição y(2)=0, temos
0 = (\,2 + C_1\,)^3 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -2.
Portanto a solução não trivial é
y(x) = (\,x - 2\,)^3.

Resposta

As soluções do PVI são
y(x)\equiv 0 \quad\text{e}\quad y(x) = (x - 2)^3.
Em particular, além da trivial y=0, temos a solução não trivial y=(x-2)^3.

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