Questão 02a : Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços de \mathbb{R}^{3}.
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x-y+z=0\right\};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto W abaixo é um subespaço de \mathbb{R}^{3}:
W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x-y+z=0\right\}.
Informações dadas: W é descrito por uma única equação linear homogênea em três variáveis: x-y+z=0. A pergunta é apenas uma: " W é subespaço de \mathbb{R}^{3}?"

Passo 2

O que significa ser subespaço (explicação didática e útil para a prova). Para um conjunto S\subseteq\mathbb{R}^{3} ser subespaço, precisamos verificar três propriedades básicas:
  1. S não é vazio (equivalente e mais prático: contém o vetor nulo).
  2. Fechamento por soma: se \mathbf{u}\in S e \mathbf{v}\in S, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se \mathbf{u}\in S e c\in\mathbb{R}, então c\mathbf{u}\in S.
Vou checar essas três propriedades para W. Essas são as únicas coisas que você precisa provar na prova para afirmar que um conjunto é subespaço.

Passo 3

Verificação da propriedade 1 — não vazio / contém o vetor nulo. Testamos o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0) na equação que define W:
0-0+0=0.
Como a igualdade é satisfeita, \mathbf{0}\in W. Portanto W não é vazio.

Passo 4

Verificação da propriedade 2 — fechamento por soma. Tome dois vetores arbitrários em W:
\mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in W\quad\text{e}\quad \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)\in W.
Por estarem em W sabemos que
x_1-y_1+z_1=0 \quad\text{e}\quad x_2-y_2+z_2=0.
Calcule a soma \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2). Substituímos na equação que define W:
(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2) = (x_1-y_1+z_1)+(x_2-y_2+z_2).
Pelo que sabemos acima, cada parêntese é zero, então a soma é 0+0=0. Logo \mathbf{u}+\mathbf{v} satisfaz a equação e pertence a W. Assim W é fechado por soma.

Passo 5

Verificação da propriedade 3 — fechamento por multiplicação escalar. Tome um vetor arbitrário \mathbf{u}=(x,y,z)\in W, então
x-y+z=0.
Se c\in\mathbb{R} for qualquer escalar, o vetor c\mathbf{u}=(cx,cy,cz) substituído na equação dá
(cx)-(cy)+(cz)=c(x-y+z)=c\cdot 0=0.
Portanto c\mathbf{u} também satisfaz a equação e pertence a W. Assim W é fechado por multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão e intuição geométrica. Verificamos as três propriedades exigidas: \mathbf{0}\in W, W é fechado por soma e por multiplicação escalar. Portanto W é um subespaço de \mathbb{R}^{3}. Intuitivamente, W é um plano passando pela origem (porque a equação é homogênea), e todo plano que passa pela origem é subespaço.

Resposta

W é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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