Questão 02a : Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaços de
.
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
abaixo é um subespaço de
:
Informações dadas:
é descrito por uma única equação linear homogênea em três variáveis:
. A pergunta é apenas uma: "
é subespaço de
?"
Passo 2
O que significa ser subespaço (explicação didática e útil para a prova). Para um conjunto
ser subespaço, precisamos verificar três propriedades básicas:
-
não é vazio (equivalente e mais prático: contém o vetor nulo). - Fechamento por soma: se
e , então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e , então .
Vou checar essas três propriedades para
. Essas são as únicas coisas que você precisa provar na prova para afirmar que um conjunto é subespaço.
Passo 3
Verificação da propriedade 1 — não vazio / contém o vetor nulo. Testamos o vetor nulo
na equação que define
:
Como a igualdade é satisfeita,
. Portanto
não é vazio.
Passo 4
Verificação da propriedade 2 — fechamento por soma. Tome dois vetores arbitrários em
:
Por estarem em
sabemos que
Calcule a soma
. Substituímos na equação que define
:
Pelo que sabemos acima, cada parêntese é zero, então a soma é
. Logo
satisfaz a equação e pertence a
. Assim
é fechado por soma.
Passo 5
Verificação da propriedade 3 — fechamento por multiplicação escalar. Tome um vetor arbitrário
, então
Se
for qualquer escalar, o vetor
substituído na equação dá
Portanto
também satisfaz a equação e pertence a
. Assim
é fechado por multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão e intuição geométrica. Verificamos as três propriedades exigidas:
,
é fechado por soma e por multiplicação escalar. Portanto
é um subespaço de
. Intuitivamente,
é um plano passando pela origem (porque a equação é homogênea), e todo plano que passa pela origem é subespaço.