04:
A matriz:
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right)
é inversível? Em caso afirmativo calcule sua inversa.

Passo 1

O enunciado pergunta se a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 2 \\[4pt] 1 & 2 & 0\end{pmatrix}
é inversível e, em caso afirmativo, pede para calcular A^{-1}.\n
Dados relevantes: os elementos de A estão todos explícitos na matriz acima. A tarefa é (1) verificar invertibilidade e (2) encontrar a inversa, se existir.]

Passo 2

Conceito e estratégia: uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Portanto primeiro vou calcular \det(A). Se \det(A)\neq 0 uso a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz dos cofatores). Vou calcular \det(A) por expansão pela primeira linha (fórmula de Laplace).

Passo 3

Expansão pela primeira linha: para
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 2 \\[4pt] 1 & 2 & 0\end{pmatrix},
temos
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo dos menores (cada determinante 2\times2 é ad-bc):
\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-2\cdot2=-4,
\det\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=2\cdot0-2\cdot1=-2,
\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-1\cdot1=3.]

Passo 5

Substituindo na expansão:
\det(A)=1\cdot(-4)-1\cdot(-2)+1\cdot3=-4+2+3=1.
Como \det(A)=1\neq 0, concluímos que A é inversível. (Boa notícia — determinante simples!)

Passo 6

Agora vou calcular a inversa usando cofatores. Lembro: o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor (determinante da submatriz obtida removendo linha i e coluna j). Vou computar todos os M_{ij} e C_{ij}.
Linha 1:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}=-4,\qquad C_{11}=(-1)^{2}(-4)=-4,
M_{12}=\det\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=-2,\qquad C_{12}=(-1)^{1+2}(-2)=2,
M_{13}=\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=3,\qquad C_{13}=(-1)^{1+3}(3)=3.]

Passo 7

Linha 2:
M_{21}=\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-1\cdot2=-2,\qquad C_{21}=(-1)^{2+1}(-2)=2,
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-1\cdot1=-1,\qquad C_{22}=(-1)^{4}(-1)=-1,
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot1=1,\qquad C_{23}=(-1)^{2+3}(1)=-1.]

Passo 8

Linha 3:
M_{31}=\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot1=1,\qquad C_{31}=(-1)^{3+1}(1)=1,
M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot2=0,\qquad C_{32}=(-1)^{3+2}(0)=0,
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot2=-1,\qquad C_{33}=(-1)^{6}(-1)=-1.]

Passo 9

Montando a matriz de cofatores C=(C_{ij}):
C=\begin{pmatrix} -4 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & -1 & -1 \\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
A adjunta (ou adjugate) é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix} -4 & 2 & 1 \\[4pt] 2 & -1 & 0 \\[4pt] 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 10

Como \det(A)=1, a inversa é simplesmente
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=1\cdot\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} -4 & 2 & 1 \\[4pt] 2 & -1 & 0 \\[4pt] 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (só pra confiar no resultado): multiplicando A por A^{-1} obtém-se a identidade I_3 — por exemplo, a primeira linha de A vezes as colunas de A^{-1} (1,0,0), e o produto completo dá I_3.]

Resposta

Sim.
A^{-1}=\begin{pmatrix} -4 & 2 & 1 \\[4pt] 2 & -1 & 0 \\[4pt] 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}]

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