- Dê um exemplo de bases
de
e
de
tais que
não seja base de
.
Passo 1
O enunciado pede para dar um exemplo de dois subespaços
e
de um mesmo espaço vetorial
, com bases
de
e
de
, de modo que
não seja base de
. Lembrando que uma base de um espaço deve ser linearmente independente e gerar (span) todo o espaço.
Passo 2
Vamos escolher um exemplo bem simples em
. Definimos
e
Então
é a reta
em
, e claramente
Passo 3
Cada um desses espaços unidimensionais admite como base um único vetor não nulo. Escolhemos
É imediato ver que
baseia
e
baseia
, pois cada um tem exatamente um vetor que gera a reta
.
Passo 4
Agora olhamos para a união
Esses dois vetores são colineares, pois
. Logo eles são linearmente dependentes e não formam uma base de
. Em particular, não satisfazem o critério de independência linear.
Resposta
Como exemplo, em
tomamos
Então
é linearmente dependente e não é base de
.