1. Dê um exemplo de bases B_{1} de W_{1} e B_{2} de W_{2} tais que B_{1} \cup B_{2} não seja base de W_{1}+W_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para dar um exemplo de dois subespaços W_{1} e W_{2} de um mesmo espaço vetorial V, com bases B_{1} de W_{1} e B_{2} de W_{2}, de modo que B_{1}\cup B_{2} não seja base de W_{1}+W_{2}. Lembrando que uma base de um espaço deve ser linearmente independente e gerar (span) todo o espaço.

Passo 2

Vamos escolher um exemplo bem simples em V=\mathbb{R}^{2}. Definimos
W_{1}=\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}
e
W_{2}=\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Então W_{1}=W_{2} é a reta y=x em \mathbb{R}^{2}, e claramente
W_{1}+W_{2}=W_{1}=\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

Cada um desses espaços unidimensionais admite como base um único vetor não nulo. Escolhemos
B_{1}=\{(1,1)\} \quad\text{e}\quad B_{2}=\{(2,2)\}.
É imediato ver que B_{1} baseia W_{1} e B_{2} baseia W_{2}, pois cada um tem exatamente um vetor que gera a reta y=x.

Passo 4

Agora olhamos para a união
B_{1}\cup B_{2}=\{(1,1),(2,2)\}.
Esses dois vetores são colineares, pois (2,2)=2\,(1,1). Logo eles são linearmente dependentes e não formam uma base de W_{1}+W_{2}. Em particular, não satisfazem o critério de independência linear.

Resposta

Como exemplo, em V=\mathbb{R}^{2} tomamos
W_{1}=W_{2}=\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\},\quad B_{1}=\{(1,1)\},\quad B_{2}=\{(2,2)\}.
Então B_{1}\cup B_{2} é linearmente dependente e não é base de W_{1}+W_{2}.

Exercícios relacionados