Questão 2: ( 1 \frac{1}{2}) pontos)
Dados os vetores \vec{u}=(1,-2,0), \vec{v}=(2,1,1) determine o que se pede nos itens abaixo:
(a) ( 1 / 2 ponto) Os valores de a_{1} e a_{2} tal que \vec{w}=(-4,-7,-3) e \vec{w}=a_{1} \vec{u}+a_{2} \vec{v};
(b) (1 ponto) O escalar w_{1} e o vetor \vec{w}_{2} de modo que w_{1}=\vec{u} \cdot \vec{v} e \vec{w}_{2}=\vec{u} \times \vec{v};

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(1,-2,0), \vec{v}=(2,1,1) e pede em (a) os escalares a_{1},a_{2} tais que
\vec{w}=(-4,-7,-3)=a_{1}\vec{u}+a_{2}\vec{v}, e em (b) o escalar
w_{1}=\vec{u}\cdot\vec{v} e o vetor \vec{w}_{2}=\vec{u}\times\vec{v}.
Para (a) vamos montar e resolver o sistema linear das componentes; para (b) usamos as definições de produto escalar e vetorial.

Passo 2

Em (a), escrevendo componente a componente temos
\begin{cases} a_{1}\cdot1 + a_{2}\cdot2 = -4,\\\ a_{1}\cdot(-2) + a_{2}\cdot1 = -7,\\\ a_{1}\cdot0 + a_{2}\cdot1 = -3. \end{cases}
Da terceira equação vem imediatamente
a_{2} = -3.
Substituindo na primeira,
a_{1} + 2(-3) = -4 \quad\Longrightarrow\quad a_{1} - 6 = -4 \quad\Longrightarrow\quad a_{1} = 2.
Verificando na segunda: -2\cdot2 +1\cdot(-3) = -4-3=-7, ok.

Passo 3

Em (b), o produto escalar é
w_{1} = \vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot2 + (-2)\cdot1 + 0\cdot1 = 2 - 2 + 0 = 0.

Passo 4

Ainda em (b), o produto vetorial usa a regra de Sarrus ou determinante:
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -2 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)\cdot1 - 0\cdot1) - \mathbf{j}(1\cdot1 - 0\cdot2) + \mathbf{k}(1\cdot1 - (-2)\cdot2),
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\vec{u}\times\vec{v} = (-2)\,\mathbf{i} \;-\;1\,\mathbf{j}\;+\;5\,\mathbf{k} = (-2,\,-1,\,5).

Resposta

(a) a_{1}=2, a_{2}=-3.
(b) w_{1}=0, \vec{w}_{2}=(-2,-1,5).

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