1. Sejam W_{1}, W_{2} subespaços de V, com \operatorname{dim} W_{1}=3, \operatorname{dim} W_{2}= 4, \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=2.
    (a) Construa uma base para W_{1}+W_{2}
    (b) Verifique a fórmula:
\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim} W_{2}-\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)

Passo 1

O enunciado diz que W_{1} e W_{2} são subespaços de um espaço vetorial V com
\dim W_{1}=3,\quad \dim W_{2}=4,\quad \dim\bigl(W_{1}\cap W_{2}\bigr)=2.
Pede-se (a) construir uma base de W_{1}+W_{2} e (b) verificar a fórmula
\dim\bigl(W_{1}+W_{2}\bigr)=\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim\bigl(W_{1}\cap W_{2}\bigr).
O conteúdo é teoria de dimensão e soma de subespaços: escolhemos primeiro uma base do encontro, estendemos cada base e mostramos que a união se comporta como base da soma.

Passo 2

Seja \{u_{1},u_{2}\} uma base de W_{1}\cap W_{2}. Como \dim W_{1}=3, podemos estendê-la a uma base de W_{1} acrescentando um vetor v_{1}, ou seja
\{u_{1},u_{2},v_{1}\}\quad\text{é base de }W_{1}.é
De modo análogo, como \dim W_{2}=4, estendemos \{u_{1},u_{2}\} a uma base de W_{2} acrescentando dois vetores w_{1},w_{2}, ou seja
\{u_{1},u_{2},w_{1},w_{2}\}\quad\text{é base de }W_{2}.é

Passo 3

Agora mostramos que
\mathcal B=\{u_{1},u_{2},v_{1},w_{1},w_{2}\}
é base de W_{1}+W_{2}.
  1. Gera W_{1}+W_{2}: dado x\in W_{1}+W_{2}, escreva x=x_{1}+x_{2} com x_{1}\in W_{1}, x_{2}\in W_{2}. Então
x_{1}=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}v_{1},\quad x_{2}=b_{1}u_{1}+b_{2}u_{2}+b_{3}w_{1}+b_{4}w_{2},
logo x é combinação linear dos cinco vetores de \mathcal B.
2. É linearmente independente: suponha
\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}v_{1}+\alpha_{4}w_{1}+\alpha_{5}w_{2}=0.
Como v_{1}\in W_{1} mas não em W_{2}, e w_{1},w_{2}\in W_{2} mas não em W_{1} (por construção de extensão mínima), o único modo de anular a soma é ter \alpha_{3}=\alpha_{4}=\alpha_{5}=0. Então \alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}=0 e, por independência de \{u_{1},u_{2}\}, vem \alpha_{1}=\alpha_{2}=0. Assim os cinco vetores são independentes.

Passo 4

Concluímos que \mathcal B é base de W_{1}+W_{2} e, portanto,
\dim\bigl(W_{1}+W_{2}\bigr)=\bigl|\mathcal B\bigr|=5.

Passo 5

Verificando a fórmula, temos
\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim\bigl(W_{1}\cap W_{2}\bigr) =3+4-2=5,
que coincide com \dim(W_{1}+W_{2}).

Resposta

(a) Uma base de W_{1}+W_{2} é
\{\,u_{1},\,u_{2},\,v_{1},\,w_{1},\,w_{2}\},
onde \{u_{1},u_{2}\} é base de W_{1}\cap W_{2}, \{u_{1},u_{2},v_{1}\} base de W_{1} e \{u_{1},u_{2},w_{1},w_{2}\} base de W_{2}.
(b) A fórmula
\dim\bigl(W_{1}+W_{2}\bigr)=\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim\bigl(W_{1}\cap W_{2}\bigr)
fica 5=3+4-2, confirmada.

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