Sejam W_{1}, W_{2} subespaços de V, com \operatorname{dim} W_{1}=3, \operatorname{dim} W_{2}=4, \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=2.
(a) Construa uma base para W_{1}+W_{2}
(b) Verifique a fórmula:
O conteúdo é teoria de dimensão e soma de subespaços: escolhemos primeiro uma base do encontro, estendemos cada base e mostramos que a união se comporta como base da soma.
Passo 2
Seja \{u_{1},u_{2}\} uma base de W_{1}\cap W_{2}. Como \dim W_{1}=3, podemos estendê-la a uma base de W_{1} acrescentando um vetor v_{1}, ou seja
\{u_{1},u_{2},v_{1}\}\quad\text{é base de }W_{1}.
De modo análogo, como \dim W_{2}=4, estendemos \{u_{1},u_{2}\} a uma base de W_{2} acrescentando dois vetores w_{1},w_{2}, ou seja
\{u_{1},u_{2},w_{1},w_{2}\}\quad\text{é base de }W_{2}.
Passo 3
Agora mostramos que
\mathcal B=\{u_{1},u_{2},v_{1},w_{1},w_{2}\}
é base de W_{1}+W_{2}.
Gera W_{1}+W_{2}: dado x\in W_{1}+W_{2}, escreva x=x_{1}+x_{2} com x_{1}\in W_{1}, x_{2}\in W_{2}. Então
Como v_{1}\in W_{1} mas não em W_{2}, e w_{1},w_{2}\in W_{2} mas não em W_{1} (por construção de extensão mínima), o único modo de anular a soma é ter \alpha_{3}=\alpha_{4}=\alpha_{5}=0. Então \alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}=0 e, por independência de \{u_{1},u_{2}\}, vem \alpha_{1}=\alpha_{2}=0. Assim os cinco vetores são independentes.
Passo 4
Concluímos que \mathcal B é base de W_{1}+W_{2} e, portanto,