Dê um exemplo em cada caso.
(f) Uma função f que é contínua em todo seu domínio, mas não é derivável em x=0.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f cujo domínio seja todo \mathbb{R} em que f é contínua em cada ponto, mas falha em ser derivável em x=0. O conteúdo aqui é a diferença entre continuidade e diferenciabilidade: continuidade exige que \lim_{x\to a}f(x)=f(a), já diferenciabilidade exige que o limite do quociente de diferença exista.

Passo 2

Uma escolha clássica é
f(x) = |x|.
Aqui o domínio é \mathbb{R} e para cada x temos f(x)=x se x\ge0 e f(x)=-x se x<0.

Passo 3

Para verificar a continuidade em x=0, note que
\lim_{x\to0}f(x) =\lim_{x\to0}|x| =0 =f(0).
Como |x| é composta por retas em (-\infty,0) e (0,\infty), ela é contínua em todo ponto desses intervalos também. Logo, f é contínua em \mathbb{R}.

Passo 4

Agora calculamos o quociente de diferença em x=0 pelas duas direções:
\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{|h|-0}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h} =-1,
\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{|h|-0}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h} =1.

Passo 5

Como os limites laterais do quociente de diferença são diferentes -1\neq1, o limite total não existe. Portanto, f não é derivável em x=0, mesmo sendo contínua em todo o domínio.

Resposta

Uma função que atende é
f(x)=|x|.

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