Dê um exemplo em cada caso.
(f) Uma função
que é contínua em todo seu domínio, mas não é derivável em
.
(f) Uma função
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função
cujo domínio seja todo
em que
é contínua em cada ponto, mas falha em ser derivável em
. O conteúdo aqui é a diferença entre continuidade e diferenciabilidade: continuidade exige que
, já diferenciabilidade exige que o limite do quociente de diferença exista.
Passo 2
Uma escolha clássica é
Aqui o domínio é
e para cada
temos
se
e
se
.
Passo 3
Para verificar a continuidade em
, note que
Como
é composta por retas em
e
, ela é contínua em todo ponto desses intervalos também. Logo,
é contínua em
.
Passo 4
Agora calculamos o quociente de diferença em
pelas duas direções:
Passo 5
Como os limites laterais do quociente de diferença são diferentes
, o limite total não existe. Portanto,
não é derivável em
, mesmo sendo contínua em todo o domínio.
Resposta
Uma função que atende é