Dê um exemplo em cada caso.
(e) Uma função f tal que f^{\prime}(x)=0 para todo x \in D_{f}.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f cuja derivada satisfaz \,f'(x)=0 para todo x em seu domínio D_f. O conteúdo aqui é o teorema que diz que se a derivada de uma função é nula em todo ponto, então a função é constante.

Passo 2

Segundo o teorema de funções constantes, se \,f'(x)=0 para todo x\in D_f, então existe uma constante C tal que
f(x)=C
para todo x\in D_f.

Passo 3

Basta escolher qualquer valor fixo para C. Por exemplo, definimos em todo \mathbb{R}:
f(x)=5.

Passo 4

Calculando a derivada: como f(x) não varia, temos
f'(x)=0
para todo x\in\mathbb{R}, conforme exigido.

Resposta

Uma escolha possível é
f(x)=5,
que satisfaz \,f'(x)=0 em todo seu domínio.

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