determine the order of the given differential equation; also state whether the equation is linear or nonlinear.
\left(1+y^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+t \frac{d y}{d t}+y=e^{t}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(1+y^{2})\,\frac{d^{2}y}{dt^{2}} \;+\; t\,\frac{dy}{dt} \;+\; y \;=\; e^{t}
e pede para determinar a ordem da EDO e dizer se ela é linear ou não. Vamos usar os conceitos de ordem de uma EDO (maior derivada presente) e de linearidade (coeficientes das derivadas podem depender apenas da variável independente).

Passo 2

A ordem de uma EDO é dada pelo maior índice de derivada que aparece. Aqui temos \frac{d^{2}y}{dt^{2}}, que é a segunda derivada de y. Logo, a ordem é 2.

Passo 3

Uma EDO é linear se as derivadas de y e a própria y aparecem apenas multiplicadas por funções da variável independente (aqui t) e sem produtos ou funções não lineares de y. No nosso caso, o coeficiente de \frac{d^{2}y}{dt^{2}} é (1+y^{2}), que depende de y. Isso quebra a linearidade, pois coeficientes não podem depender de y.

Resposta

Ordem 2; não é linear.

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