Exemplo 5: Calcule a área total entre a curva y=x^{2}-2 x e o eixo x sobre o intervalo [0,3].

Passo 1

Resumindo, queremos a área total entre a curva y=x^{2}-2x e o eixo x no intervalo [0,3]. Em cálculo, isso significa integrar o valor absoluto de x^{2}-2x, ou seja,
A=\int_{0}^{3}\bigl|x^{2}-2x\bigr|\,dx.
Para resolver, vamos:
  1. Encontrar onde a curva corta o eixo y=0.
  2. Verificar o sinal de x^{2}-2x em cada subintervalo.
  3. Calcular as integrais apropriadas e somar as áreas (sempre positivas).

Passo 2

Resolvendo x^{2}-2x=0 para achar os pontos de interseção:
x(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;x=2.

Passo 3

Analisando o sinal de y=x^{2}-2x em cada parte de [0,3]:
  • Em 0<x<2, escolhemos x=1: 1^{2}-2\cdot1=-1<0. Então ali a curva está abaixo do eixo x.
  • Em 2<x\le3, escolhemos x=3: 3^{2}-2\cdot3=3>0. Então ali a curva está acima do eixo.

Passo 4

Podemos escrever a área total como soma de duas integrais sem valor absoluto, invertendo o sinal onde a função é negativa:
A \;=\; -\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-2x\bigr)\,dx \;+\;\int_{2}^{3}\bigl(x^{2}-2x\bigr)\,dx.
A primitiva de x^{2}-2x é
\frac{x^{3}}{3}-x^{2}.

Passo 5

Calcular cada integral:
\int_{0}^{2}(x^{2}-2x)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}-x^{2}\Bigr]_{0}^{2} =\bigl(\tfrac{8}{3}-4\bigr)-0 =-\tfrac{4}{3},
logo a área em [0,2] é -(-\tfrac{4}{3})=\tfrac{4}{3}.
\int_{2}^{3}(x^{2}-2x)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}-x^{2}\Bigr]_{2}^{3} =\bigl(\tfrac{27}{3}-9\bigr)-\bigl(\tfrac{8}{3}-4\bigr) =0-\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) =\tfrac{4}{3}.

Passo 6

Somando as duas áreas positivas:
A=\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3} =\tfrac{8}{3}.

Resposta

A área total entre a curva y=x^{2}-2x e o eixo x sobre [0,3] é \displaystyle \tfrac{8}{3}.

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