EXEMPLO 1: Calcule Q, W e \Delta U nos seguintes processos:
\mathbf{2 , 0} mols de um gás ideal são submetidos a uma expansão, sob \mathbf{1 , 0} atm de pressão, de 20 L até 40 L . Dado: \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{v}}=2,5 \mathrm{R}.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o calor trocado Q, o trabalho realizado W e a variação da energia interna \Delta U para um processo em que:
\begin{aligned} &\text{número de mols: } n=2{,}0\\ \text{mol},\\\ &\text{pressão (constante): } P=1{,}0\\ \text{atm},\\\ &\text{volume inicial: } V_1=20\\ \text{L},\\\ &\text{volume final: } V_2=40\\ \text{L},\\\ &\text{capacidade molar a volume constante: } \overline{C}_v=2{,}5\,R. \end{aligned}úã
As perguntas são explicitamente: calcular Q, W e \Delta U.

Passo 2

Entendendo as relações físicas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Primeira lei da Termodinâmica (convenção: W trabalho realizado pelo gás):
\Delta U = Q - W.
Aqui \Delta U é a variação da energia interna do gás, Q é o calor recebido pelo gás e W o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente.
  • Para um gás ideal mono- ou poliatômico, a variação de energia interna em processos quaisquer depende só da variação de temperatura:
\Delta U = n\,\overline{C}_v\,\Delta T,
onde \overline{C}_v é a capacidade molar a volume constante (por mol).
  • Trabalho a pressão constante (processo isobárico): o trabalho realizado pelo gás ao expandir \Delta V contra pressão constante P é
W = P\,\Delta V.
  • Para um gás ideal vale também a equação de estado:
PV = nRT,
onde R é a constante dos gases perfeitos. Usaremos isso para relacionar volumes e temperaturas: \Delta T = \dfrac{P\,\Delta V}{nR}.
  • Relação entre capacidades molares de um gás ideal:
\overline{C}_p = \overline{C}_v + R,
e em processo isobárico pode-se calcular Q = n\,\overline{C}_p\,\Delta T (conferirá com \Delta U + W).

Passo 3

Calcular o trabalho W.
  • Primeiro calculamos a variação de volume:
\Delta V = V_2 - V_1 = 40\\ \mathrm{L} - 20\\ \mathrm{L} = 20\\ \mathrm{L}.
  • O trabalho (usando P em atm e \Delta V em L) é
W = P\,\Delta V = 1{,}0\\ \mathrm{atm}\times20\\ \mathrm{L} = 20\\ \mathrm{L\cdot atm}.
  • Convertendo \mathrm{L\cdot atm} para joules: 1\\ \mathrm{L\cdot atm}=1{,}01325\times10^{2}\\ \mathrm{J}. Logo
W = 20\times1{,}01325\times10^{2}\\ \mathrm{J}=2{,}0265\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente (dados com 2 algarismos significativos), podemos usar
W \approx 2{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a variação de temperatura \Delta T usando a equação de estado.
  • Como a pressão é constante e temos volumes conhecidos, pela equação PV=nRT temos
\Delta T = T_2 - T_1 = \frac{P(V_2-V_1)}{nR} = \frac{P\,\Delta V}{nR}.
  • Usando P=1{,}0\\ \mathrm{atm}, \Delta V=20\\ \mathrm{L}, n=2{,}0\\ \mathrm{mol} e R=0{,}08206\\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)} (valor prático em unidades L·atm),
\Delta T = \frac{1{,}0\times20}{2{,}0\times0{,}08206}\\ \mathrm{K} = \frac{20}{0{,}16412}\\ \mathrm{K} \approx 121{,}8\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a variação da energia interna \Delta U.
  • Usamos \Delta U = n\,\overline{C}_v\,\Delta T.
  • Como \overline{C}_v=2{,}5\,R, então numericamen­te em unidades SI \overline{C}_v=2{,}5\times8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}=20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Logo
\Delta U = 2{,}0\\ \mathrm{mol}\times20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\times121{,}8\\ \mathrm{K}.
  • Fazendo a conta:
\Delta U \approx 41{,}57\times121{,}8\\ \mathrm{J}\approx5{,}063\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
\Delta U \approx 5{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular o calor Q e checar consistência.
  • Pela primeira lei: Q=\Delta U+W. Usando os valores calculados,
Q \approx 5{,}063\times10^{3}\\ \mathrm{J} + 2{,}0265\times10^{3}\\ \mathrm{J} \approx 7{,}0895\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
Q \approx 7{,}09\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
  • Verificação alternativa: Q=n\,\overline{C}_p\,\Delta T com \overline{C}_p=\overline{C}_v+R=(2{,}5+1{,}0)R=3{,}5R. Então
Q = 2{,}0\times3{,}5R\times121{,}8\\ \mathrm{K}=7R\times121{,}8\\ \mathrm{K},
e usando R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} obtemos o mesmo valor numérico \approx7{,}09\times10^{3}\\ \mathrm{J}. Tudo consistente.

Resposta

Q = 7{,}09\times10^{3}\\ \mathrm{J}
W = 2{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{J}
\Delta U = 5{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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