EXEMPLO 1: Calcule
e
nos seguintes processos:
de
, se comportando como um gás de van der Waals, é expandido isotermicamente e reversivelmente, a 298 K , de
até
. Dados para o
:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o calor trocado
, o trabalho
e a variação de energia interna
para um processo isotérmico e reversível de expansão de
mol de
, modelado por um gás de van der Waals. Dados fornecidos (vou listar):
(dado)
(equação de van der Waals dada)
As perguntas são: calcular
,
e
para a expansão isotérmica reversível de
até
usando os dados acima.
Passo 2
Defino convenção de sinais e as equações fundamentais que vou usar (importante para não confundir na hora da prova). Vou usar a forma da primeira lei de termodinâmica usual em muitos livros de química/termofísica:
onde
é o trabalho feito \emph{sobre} o sistema. Para um processo de expansão reversível temos:
porque o trabalho sobre o sistema é negativo se o sistema expande (o sistema faz trabalho sobre o entorno). Também vou usar o fato dado sobre a dependência de
com
à temperatura constante:
Explico rapidamente o que cada símbolo significa:
número de mols,
constante dos gases (vou usar
),
temperatura,
volume,
parâmetros de van der Waals que descrevem forças intermoleculares (
) e volume de exclusão (
).
Na prática: calculo primeiro
por integração do dado
; depois calculo
integrando
da equação de van der Waals; por fim uso a primeira lei para encontrar
.
Passo 3
Cálculo de
a partir do dado
. Como
(T constante), integra-se:
Portanto
Agora substituo os valores numéricos (atenção às unidades:
em
, volumes em L, então o produto dá
, que converto para J com
):
Convertendo para joules:
Ou em kJ:
Passo 4
Cálculo do trabalho
integrando a pressão do gás de van der Waals. Escrevo a integral:
Faço as integrais separadamente:
(essa é a integral básica de
: resultado é
). E
Somando, a integral
vale
Portanto
Observação útil (para a prova): note que o segundo termo está relacionado com
que calculamos antes, porque
. Assim, podemos escrever também
Essa relação é prática: para isoterma de van der Waals o trabalho difere do termo logarítmico por
.
Passo 5
Avalio numericamente
. Primeiro os termos numéricos:
Calculo
e
:
Razão e logaritmo:
Então o termo logarítmico é
O segundo termo (o que envolve
) já tínhamos parcialmente ao calcular
. Computei
. E observei antes que
Logo somando:
Converto para joules:
Lembre-se do significado:
negativo indica que, segundo a convenção adotada, o trabalho \emph{sobre} o sistema é negativo (o sistema realizou trabalho sobre o ambiente) — coerente com expansão.
Passo 6
Cálculo de
usando a primeira lei:
Substituindo os valores em joules (usar consistência de unidades):
Interpretação rápida: positivo significa calor absorvido pelo sistema (esperado: na expansão isotérmica o sistema precisa absorver calor para manter
quase constante enquanto faz trabalho).