exemplo 3.9.1 Calcule o fluxo de
, através da curva
dada pelo quadrado de vértices
e
, na direção do normal exterior ao quadrado.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o fluxo do campo de vetor
através da curva
que é o contorno do quadrado com vértices
, tomando a direção do vetor normal exterior ao quadrado.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- O campo vetorial é
. - A curva
é o contorno fechado do quadrado . - Queremos o fluxo na direção do normal exterior (vetor normal apontando para fora do quadrado).
- Objetivo: calcular
, onde é o normal exterior e é o elemento de comprimento da curva.
Passo 2
Definição e ferramenta que vamos usar (explicação didática).\n
O fluxo de um campo através de uma curva fechada
com normal exterior é dado por
O fluxo de um campo
Aqui:
-
é a componente do campo (no nosso caso ). -
é a componente do campo (no nosso caso ). -
é o vetor normal unitário externo à região limitada por . -
é o comprimento infinitesimal ao longo da curva.\n
Uma maneira muito eficiente de calcular esse fluxo é usar o teorema da divergência em duas dimensões (também chamado de forma divergente de Green). Esse teorema diz, de forma prática:
onde
e
é a região fechada pelo contorno
.\n
Explicando a ideia intuitiva: a divergência mede a “taxa de saída” do campo por unidade de área; então somando (integrando) essa taxa sobre toda a área obtemos o total que sai por todo o contorno — que é exatamente o fluxo pelo contorno externo.
Explicando a ideia intuitiva: a divergência mede a “taxa de saída” do campo por unidade de área; então somando (integrando) essa taxa sobre toda a área
Passo 3
Calcular a divergência do campo.\n
Temos e
. Então por definição da divergência,
Temos
Calculando as derivadas parciais:
Portanto
Ou seja, a divergência é a função constante
em todo o plano.
Passo 4
Aplicar o teorema da divergência e calcular a integral dupla.\n
Como , pela fórmula do Passo 2 temos
Como
A região
é o quadrado
. A integral dupla de
sobre
é simplesmente a área de
. Vamos calcular passo a passo:
Integramos primeiro em
:
Agora em
:
Portanto o fluxo é
.
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, útil para aprender): cálculo direto pelas arestas.\n
Podemos também somar as contribuições das quatro arestas do quadrado. Observação: como , a contribuição de fluxo em cada aresta é
(já que a componente em
é nula). Para as arestas:
Podemos também somar as contribuições das quatro arestas do quadrado. Observação: como
- Aresta inferior (reta
, ): normal exterior é . Contribuição . - Aresta superior (reta
, ): normal exterior é . Contribuição . - Aresta direita (reta
, ): normal exterior é . Contribuição
- Aresta esquerda (reta
, ): normal exterior é . Contribuição
Somando as quatro contribuições:
, que confirma o resultado obtido pelo teorema da divergência.