exemplo 3.9.1 Calcule o fluxo de F(x, y)=(x, 0), através da curva \gamma dada pelo quadrado de vértices (1,1),(3,1),(3,3) e (1,3), na direção do normal exterior ao quadrado.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o fluxo do campo de vetor F(x,y)=(x,0) através da curva \gamma que é o contorno do quadrado com vértices (1,1),(3,1),(3,3),(1,3), tomando a direção do vetor normal exterior ao quadrado.\n
Informações dadas:
  • O campo vetorial é F(x,y)=(x,0).
  • A curva \gamma é o contorno fechado do quadrado D=\{(x,y)\mid 1\le x\le 3,\;1\le y\le 3\}.
  • Queremos o fluxo na direção do normal exterior (vetor normal apontando para fora do quadrado).
  • Objetivo: calcular \displaystyle\oint_{\gamma} F\cdot n\,ds, onde n é o normal exterior e ds é o elemento de comprimento da curva.

Passo 2

Definição e ferramenta que vamos usar (explicação didática).\n
O fluxo de um campo F=(P,Q) através de uma curva fechada \gamma com normal exterior é dado por
\oint_{\gamma} F\cdot n\,ds.
Aqui:
  • P(x,y) é a componente x do campo (no nosso caso P(x,y)=x).
  • Q(x,y) é a componente y do campo (no nosso caso Q(x,y)=0).
  • n é o vetor normal unitário externo à região limitada por \gamma.
  • ds é o comprimento infinitesimal ao longo da curva.\n
    Uma maneira muito eficiente de calcular esse fluxo é usar o teorema da divergência em duas dimensões (também chamado de forma divergente de Green). Esse teorema diz, de forma prática:
\oint_{\gamma} F\cdot n\,ds=\iint_{D} \operatorname{div}F\,dA,
onde \operatorname{div}F=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y} e D é a região fechada pelo contorno \gamma.\n
Explicando a ideia intuitiva: a divergência mede a “taxa de saída” do campo por unidade de área; então somando (integrando) essa taxa sobre toda a área D obtemos o total que sai por todo o contorno — que é exatamente o fluxo pelo contorno externo.

Passo 3

Calcular a divergência do campo.\n
Temos P(x,y)=x e Q(x,y)=0. Então por definição da divergência,
\operatorname{div}F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}.
Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1, \qquad \frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(0)=0.
Portanto
\operatorname{div}F=1+0=1.
Ou seja, a divergência é a função constante 1 em todo o plano.

Passo 4

Aplicar o teorema da divergência e calcular a integral dupla.\n
Como \operatorname{div}F=1, pela fórmula do Passo 2 temos
\oint_{\gamma} F\cdot n\,ds=\iint_{D} 1\,dA.
A região D é o quadrado 1\le x\le 3,\;1\le y\le 3. A integral dupla de 1 sobre D é simplesmente a área de D. Vamos calcular passo a passo:
\iint_{D} 1\,dA = \int_{x=1}^{3}\int_{y=1}^{3} 1\,dy\,dx.
Integramos primeiro em y:
\int_{y=1}^{3} 1\,dy = [y]_{1}^{3}=3-1=2.
Agora em x:
\int_{x=1}^{3} 2\,dx = 2\,[x]_{1}^{3}=2(3-1)=2\cdot 2=4.
Portanto o fluxo é 4.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, útil para aprender): cálculo direto pelas arestas.\n
Podemos também somar as contribuições das quatro arestas do quadrado. Observação: como F=(x,0), a contribuição de fluxo em cada aresta é \int x\,n_x\,ds (já que a componente em y é nula). Para as arestas:
  • Aresta inferior (reta y=1, 1\le x\le3): normal exterior é n=(0,-1)\Rightarrow n_x=0. Contribuição 0.
  • Aresta superior (reta y=3, 1\le x\le3): normal exterior é n=(0,1)\Rightarrow n_x=0. Contribuição 0.
  • Aresta direita (reta x=3, 1\le y\le3): normal exterior é n=(1,0)\Rightarrow n_x=1. Contribuição
\int_{y=1}^{3} x\cdot 1\,dy = \int_{1}^{3} 3\,dy = 3(3-1)=6.
  • Aresta esquerda (reta x=1, 1\le y\le3): normal exterior é n=(-1,0)\Rightarrow n_x=-1. Contribuição
\int_{y=1}^{3} x\cdot(-1)\,dy = \int_{1}^{3} 1\cdot(-1)\,dy = -1(3-1)=-2.
Somando as quatro contribuições: 0+0+6+(-2)=4, que confirma o resultado obtido pelo teorema da divergência.

Resposta

4

Exercícios relacionados