Nino investiu
200.000
36 %$ a.a pelo prazo de 7 anos e 8 meses. Quanto Nino terá de montante no final se usarmos:
a) a convenção linear ?
b) a convenção exponencial ?
a) a convenção linear ?
b) a convenção exponencial ?
Passo 1
O enunciado pede o montante final que Nino terá sobre um capital investido, nas duas convenções pedidas. Dados fornecidos:
- Capital inicial
. - Taxa nominal anual ).
- Prazo
anos e meses. Convertendo para anos: anos meses anos. Então .
As perguntas são:
a) Qual o montante usando a convenção linear?
b) Qual o montante usando a convenção exponencial?
Passo 2
Entendendo a “convenção linear” (juros simples) — fórmula e significado:
- No regime de juros simples, os juros crescem proporcionalmente ao tempo e ao capital inicial. A fórmula do montante é
onde
é o montante final,
é o capital inicial,
é a taxa por unidade de tempo (aqui por ano) e
é o tempo na mesma unidade (anos).
- Cada termo explicado:
-
: o dinheiro que você aplicou no início. -
: a taxa por ano (por ex. significa ao ano). -
: tempo em anos (aqui ).
-
- Essa fórmula significa: o montante é o capital mais os juros
.
Passo 3
Aplicando juros simples ao problema (cálculo passo a passo):
- Primeiro calcule
:
Fazendo a conta:
- Agora o montante:
- Multiplicando:
Portanto, usando a convenção linear (juros simples) o montante é
.
Passo 4
Entendendo a “convenção exponencial” (juros compostos) — fórmula e significado:
- No regime de juros compostos, os juros vão sendo incorporados ao capital e também rendem juros nas próximas contas. A fórmula do montante é
onde os símbolos têm o mesmo significado e
pode ser não inteiro (usa-se a potência fracionária).
- Aqui
é o fator anual de crescimento e elevamos esse fator ao número de anos . - Para nosso caso:
e . Então precisamos calcular
- Explicar como calcular uma potência fracionária:
. Vou usar essa forma para obter o valor numérico.
Passo 5
Cálculo numérico detalhado da potência (passos para obter o valor aproximado sem pular etapas):
- Calcule
. Uma forma prática é usar a identidade e escrever . Usando valores conhecidos (ou uma calculadora de logs) obtemos
- Multiplique por
:
- Agora exponencie:
(Este número é o fator pelo qual o capital inicial é multiplicado no regime composto.)
- Finalmente o montante:
Portanto, usando a convenção exponencial (juros compostos com capitalização anual e tempo fracionário em anos), o montante aproximado é
.
Passo 6
Observações finais e dica de prova:
- A diferença entre os resultados é grande porque juros compostos acumulam juros sobre juros; é bom memorizar as duas fórmulas e saber converter tempo para a mesma unidade da taxa.
- Em prova sem calculadora, para juros simples as contas são diretas; para juros compostos com expoentes fracionários pode ser pedido apenas a expressão simbólica ou um valor aproximado aceitável — saiba apresentar
e, se precisar de número, use logaritmos ou uma calculadora para a potência.
Resposta
a)
b)
b)