Nino investiu \mathrm{R} \ 200.000 , 00 num fundo que remunera à taxa deà36 %$ a.a pelo prazo de 7 anos e 8 meses. Quanto Nino terá de montante no final se usarmos:
a) a convenção linear ?
b) a convenção exponencial ?

Passo 1

O enunciado pede o montante final que Nino terá sobre um capital investido, nas duas convenções pedidas. Dados fornecidos:
  • Capital inicial P=\text{R\$ }200.000{,}00.
  • Taxa nominal anual i=36\%\,\text{a.a.}=\(0,36).
  • Prazo 7 anos e 8 meses. Convertendo para anos: 7 anos 8 meses =7+\dfrac{8}{12}=7+\dfrac{2}{3}=\dfrac{23}{3} anos. Então t=\dfrac{23}{3}.
    As perguntas são:
    a) Qual o montante usando a convenção linear?
    b) Qual o montante usando a convenção exponencial?

Passo 2

Entendendo a “convenção linear” (juros simples) — fórmula e significado:
  • No regime de juros simples, os juros crescem proporcionalmente ao tempo e ao capital inicial. A fórmula do montante é
M = P\,(1 + i\,t),
onde M é o montante final, P é o capital inicial, i é a taxa por unidade de tempo (aqui por ano) e t é o tempo na mesma unidade (anos).
  • Cada termo explicado:
    • P: o dinheiro que você aplicou no início.
    • i: a taxa por ano (por ex. 0,36 significa 36\% ao ano).
    • t: tempo em anos (aqui t=\dfrac{23}{3}).
  • Essa fórmula significa: o montante é o capital mais os juros P\cdot i\cdot t.

Passo 3

Aplicando juros simples ao problema (cálculo passo a passo):
  • Primeiro calcule i\cdot t:
i\cdot t = 0{,}36\cdot \dfrac{23}{3}.
Fazendo a conta:
\dfrac{23}{3}=7{,}666\ldots,\quad 0{,}36\cdot 7{,}666\ldots=2{,}76.
  • Agora o montante:
M = P(1+i t) = 200.000\cdot(1+2{,}76)=200.000\cdot 3{,}76.
  • Multiplicando:
200.000\cdot 3{,}76 = 752.000.
Portanto, usando a convenção linear (juros simples) o montante é \text{R\$ }752.000{,}00.

Passo 4

Entendendo a “convenção exponencial” (juros compostos) — fórmula e significado:
  • No regime de juros compostos, os juros vão sendo incorporados ao capital e também rendem juros nas próximas contas. A fórmula do montante é
M = P\,(1+i)^{t},
onde os símbolos têm o mesmo significado e t pode ser não inteiro (usa-se a potência fracionária).
  • Aqui (1+i) é o fator anual de crescimento e elevamos esse fator ao número de anos t.
  • Para nosso caso: 1+i = 1{,}36 e t=\dfrac{23}{3}. Então precisamos calcular
M = 200.000\cdot (1{,}36)^{\tfrac{23}{3}}.
  • Explicar como calcular uma potência fracionária: (1{,}36)^{23/3} = \exp\!\big(\tfrac{23}{3}\ln(1{,}36)\big). Vou usar essa forma para obter o valor numérico.

Passo 5

Cálculo numérico detalhado da potência (passos para obter o valor aproximado sem pular etapas):
  • Calcule \ln(1{,}36). Uma forma prática é usar a identidade 1{,}36=\dfrac{34}{25} e escrever \ln(1{,}36)=\ln(34)-\ln(25). Usando valores conhecidos (ou uma calculadora de logs) obtemos
\ln(1{,}36)\approx 0{,}307484698.
  • Multiplique por t=\dfrac{23}{3}:
\dfrac{23}{3}\cdot \ln(1{,}36)\approx \dfrac{23}{3}\cdot 0{,}307484698 \approx 2{,}357382685.
  • Agora exponencie:
(1{,}36)^{\tfrac{23}{3}} = \exp(2{,}357382685) \approx 10{,}5633402.
(Este número é o fator pelo qual o capital inicial é multiplicado no regime composto.)
  • Finalmente o montante:
M = 200.000\cdot 10{,}5633402 \approx 2.112.668{,}04.
Portanto, usando a convenção exponencial (juros compostos com capitalização anual e tempo fracionário em anos), o montante aproximado é \text{R\$ }2.112.668{,}04.

Passo 6

Observações finais e dica de prova:
  • A diferença entre os resultados é grande porque juros compostos acumulam juros sobre juros; é bom memorizar as duas fórmulas e saber converter tempo para a mesma unidade da taxa.
  • Em prova sem calculadora, para juros simples as contas são diretas; para juros compostos com expoentes fracionários pode ser pedido apenas a expressão simbólica ou um valor aproximado aceitável — saiba apresentar \;M=P(1+i)^t\; e, se precisar de número, use logaritmos ou uma calculadora para a potência.

Resposta

a) \text{R\$ }752.000{,}00
b) \text{R\$ }2.112.668{,}04

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