exemplo 3.9.3 Calcule os fluxos dos campos
e
, através da curva
dada pelo quadrado de vértices
, na direção do normal exterior ao quadrado. Interprete esses resultados.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule os fluxos dos dois campos vetoriais através da curva
que é o quadrado com vértices
, tomando a direção do normal exterior ao quadrado. Os campos são:
Informações relevantes dadas:
- A curva
é o contorno fechado do quadrado; o domínio interno (região) chamo de . - O normal pedido é o normal exterior (ou seja, queremos o fluxo saindo do quadrado).
- Precisamos do fluxo total através de
para cada campo.
Passo 2
Explicação do que é fluxo e qual método vou usar (com justificativa).
- Fluxo através de uma curva fechada
no plano, na direção do normal exterior, é a integral de linha do componente normal do campo ao longo da curva:
onde
é o vetor normal unitário apontando para fora e
é o elemento de comprimento ao longo de
.
- Existe um teorema prático (a forma “fluxo” de Green / teorema da divergência 2D) que transforma essa integral de contorno em uma integral dupla sobre a região
limitada por :
Aqui
é a divergência do campo, definida para
como
- Por que uso esse método? Porque para campos cujas componentes são simples funções de
a divergência é fácil de calcular e a integral dupla sobre um retângulo (ou quadrado) é direta. Calcular a integral de linha com parametrizações dos quatro lados dá mais trabalho e é mais sujeito a erro na prova — então usamos a versão da divergência, que é mais curta e segura.
Passo 3
Aplicando o método ao campo
.
- Primeiro calcule a divergência:
Expliquei cada termo:
é a derivada de
em relação a
, que vale
;
.
- Agora uso a fórmula do passo anterior:
- Descrevendo
: o quadrado tem variando de a e variando de a . Logo a integral dupla é
- Calculo interno:
- Então:
Portanto o fluxo de
através de
(normal exterior) é
.
Passo 4
Interpretação do resultado para
.
- Como
em toda a região, isso significa que cada unidade de área “produz” fluxo para fora com intensidade . O fluxo total é simplesmente a área da região vezes essa taxa: área , então fluxo . - Em termos físicos (intuição):
age como uma fonte uniforme espalhada pela região; o que sai pelo contorno equivale à soma (integral) dessas pequenas contribuições, dando 4.
Passo 5
Aplicando o método ao campo
.
- Calculo da divergência:
- Uso a fórmula do fluxo:
- Calculo interno (integral em
):
Note que
é função ímpar em
e a região é simétrica em relação ao eixo
(
de
a
), por isso a integral em
dá zero.
- Como a integral interna já é zero para qualquer
, a integral dupla também é zero:
Logo o fluxo de
através de
é
.
Passo 6
Interpretação do resultado para
.
-
é positivo para (há fontes do lado direito) e negativo para (há sorvedouros do lado esquerdo). Como a região é simétrica em , as contribuições positivas e negativas se cancelam exatamente, resultando em fluxo líquido zero através do contorno. - Em outras palavras: há saída de fluido no lado direito e entrada no lado esquerdo, mas a soma total é nula.
Passo 7
Resumo prático para a prova (como usar essa técnica rapidamente).
- Passos quando pedirem fluxo através de um contorno simples:
- Identifique a região
interior (intervalos de e ). - Calcule
. - Faça
. Se a divergência for simples, explore simetrias para reduzir trabalho.
- Identifique a região
- Esse procedimento evita parametrizar cada lado do contorno e economiza tempo.