exemplo 3.9.3 Calcule os fluxos dos campos F(x, y)=(x, 0) e G(x, y)=\left(x^{2}, 0\right), através da curva C dada pelo quadrado de vértices (1,1),(1,3),(-1,3) e(-1,1), na direção do normal exterior ao quadrado. Interprete esses resultados.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule os fluxos dos dois campos vetoriais através da curva C que é o quadrado com vértices (1,1),(1,3),(-1,3),(-1,1), tomando a direção do normal exterior ao quadrado. Os campos são:
F(x,y)=(x,0)
G(x,y)=\bigl(x^{2},0\bigr).
Informações relevantes dadas:
  • A curva C é o contorno fechado do quadrado; o domínio interno (região) chamo de D.
  • O normal pedido é o normal exterior (ou seja, queremos o fluxo saindo do quadrado).
  • Precisamos do fluxo total através de C para cada campo.

Passo 2

Explicação do que é fluxo e qual método vou usar (com justificativa).
  • Fluxo através de uma curva fechada C no plano, na direção do normal exterior, é a integral de linha do componente normal do campo ao longo da curva:
\text{fluxo}=\oint_{C} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,ds,
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário apontando para fora e ds é o elemento de comprimento ao longo de C.
  • Existe um teorema prático (a forma “fluxo” de Green / teorema da divergência 2D) que transforma essa integral de contorno em uma integral dupla sobre a região D limitada por C:
\oint_{C} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,ds \;=\; \iint_{D} (\nabla\cdot \mathbf{F})\,dA.
Aqui \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência do campo, definida para \mathbf{F}=(F_{1},F_{2}) como
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}.
  • Por que uso esse método? Porque para campos cujas componentes são simples funções de x,y a divergência é fácil de calcular e a integral dupla sobre um retângulo (ou quadrado) é direta. Calcular a integral de linha com parametrizações dos quatro lados dá mais trabalho e é mais sujeito a erro na prova — então usamos a versão da divergência, que é mais curta e segura.

Passo 3

Aplicando o método ao campo \mathbf{F}(x,y)=(x,0).
  • Primeiro calcule a divergência:
\nabla\cdot \mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(0)=1+0=1.
Expliquei cada termo: \frac{\partial}{\partial x}(x) é a derivada de x em relação a x, que vale 1; \frac{\partial}{\partial y}(0)=0.
  • Agora uso a fórmula do passo anterior:
\text{fluxo de }\mathbf{F}=\iint_{D} 1\,dA.
  • Descrevendo D: o quadrado tem x variando de -1 a 1 e y variando de 1 a 3. Logo a integral dupla é
\iint_{D} 1\,dA=\int_{y=1}^{3}\int_{x=-1}^{1} 1\,dx\,dy.
  • Calculo interno:
\int_{x=-1}^{1} 1\,dx = [x]_{-1}^{1}=1-(-1)=2.
  • Então:
\int_{y=1}^{3} 2\,dy = 2\,[y]_{1}^{3}=2(3-1)=4.
Portanto o fluxo de \mathbf{F} através de C (normal exterior) é 4.

Passo 4

Interpretação do resultado para \mathbf{F}.
  • Como \nabla\cdot\mathbf{F}=1 em toda a região, isso significa que cada unidade de área “produz” fluxo para fora com intensidade 1. O fluxo total é simplesmente a área da região vezes essa taxa: área =2\times 2=4, então fluxo =4.
  • Em termos físicos (intuição): \mathbf{F} age como uma fonte uniforme espalhada pela região; o que sai pelo contorno equivale à soma (integral) dessas pequenas contribuições, dando 4.

Passo 5

Aplicando o método ao campo \mathbf{G}(x,y)=\bigl(x^{2},0\bigr).
  • Calculo da divergência:
\nabla\cdot \mathbf{G}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(0)=2x+0=2x.
  • Uso a fórmula do fluxo:
\text{fluxo de }\mathbf{G}=\iint_{D} 2x\,dA = \int_{y=1}^{3}\int_{x=-1}^{1} 2x\,dx\,dy.
  • Calculo interno (integral em x):
\int_{x=-1}^{1} 2x\,dx = [x^{2}]_{-1}^{1} = 1-1 = 0.
Note que 2x é função ímpar em x e a região é simétrica em relação ao eixo y ( x de -1 a 1), por isso a integral em x dá zero.
  • Como a integral interna já é zero para qualquer y, a integral dupla também é zero:
\int_{y=1}^{3} 0\,dy = 0.
Logo o fluxo de \mathbf{G} através de C é 0.

Passo 6

Interpretação do resultado para \mathbf{G}.
  • \nabla\cdot\mathbf{G}=2x é positivo para x>0 (há fontes do lado direito) e negativo para x<0 (há sorvedouros do lado esquerdo). Como a região é simétrica em x, as contribuições positivas e negativas se cancelam exatamente, resultando em fluxo líquido zero através do contorno.
  • Em outras palavras: há saída de fluido no lado direito e entrada no lado esquerdo, mas a soma total é nula.

Passo 7

Resumo prático para a prova (como usar essa técnica rapidamente).
  • Passos quando pedirem fluxo através de um contorno simples:
    1. Identifique a região D interior (intervalos de x e y).
    2. Calcule \nabla\cdot\mathbf{F}.
    3. Faça \iint_{D} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dA. Se a divergência for simples, explore simetrias para reduzir trabalho.
  • Esse procedimento evita parametrizar cada lado do contorno e economiza tempo.

Resposta

\text{fluxo de }F=4
\text{fluxo de }G=0

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