Exercícios envolvendo razões trigonométricas.
Resolva-os de forma detalhada, indicando:
- O desenho do triângulo retângulo com as medidas dadas no problema;
- A resposta ao problema.
- Os cálculos necessários para determinar o que se pede;
De um ponto A , um agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de
. Ao se aproximar 50 metros do morro, ele passa a ver o topo T conforme um ângulo de
. Determine a altura do morro.
Resolva-os de forma detalhada, indicando:
De um ponto A , um agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de
Passo 1
O enunciado pede a altura do morro. Informações dadas:
- De um ponto
o topo do morro é visto sob um ângulo de . - Ao se aproximar
metros do morro, o agrimensor passa a ver o topo sob um ângulo de . - Presumo (peguei isso do desenho enviado) que os pontos de observação e a base do morro estão no mesmo plano horizontal, ou seja, a situação pode ser modelada por dois triângulos retângulos com a mesma altura
(a altura do morro) e bases horizontais diferentes.
O que se pede: determinar a altura do morro
em metros.
Passo 2
Definimos variáveis e desenhamos mentalmente (esquema) os triângulos retângulos:
- Seja
o pé do morro (projeção horizontal do topo no solo). - Seja
o ponto mais próximo onde o ângulo de elevação para é . - Seja
o ponto mais afastado (o ponto inicial), a m de na direção do morro, onde o ângulo de elevação para é .
Chamamos:
= altura do morro
.
= distância horizontal de
até
(ou seja,
).
Então a distância de até
é
(ou seja,
).
Então a distância de
Esquema (texto):
T
|
T
|
| h |
|---|
O —— x —— B —— 50 m —— A
Passo 3
Relembrando a definição usada aqui: em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente:
- No triângulo com vértice em
, o cateto oposto ao ângulo é e o cateto adjacente é . - No triângulo com vértice em
, o cateto oposto ao ângulo é e o cateto adjacente é .
Também é útil lembrar valores exatos das tangentes:
Passo 4
Aplicando a definição da tangente ao ponto
(ângulo
):
Substituindo
obtemos:
Passo 5
Aplicando a tangente ao ponto
(ângulo
):
Como
, temos:
Passo 6
Agora igualamos as duas expressões para
(pois ambas representam a mesma altura):
Isolamos
:
Logo
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por
):
Passo 7
Agora encontramos
. Usamos a expressão mais simples
:
Simplificando:
Esse é o valor exato. Podemos dar uma aproximação numérica usando
:
Arredondando para uma casa decimal,
metros.
Passo 8
Breve verificação de consistência: ao aproximar
m, o ângulo aumenta de
para
; isso é consistente com a distância
positiva encontrada e com uma altura em torno de
m. Tudo coerente.