Exercícios envolvendo razões trigonométricas.
Resolva-os de forma detalhada, indicando:
  • O desenho do triângulo retângulo com as medidas dadas no problema;
  • A resposta ao problema.
  • Os cálculos necessários para determinar o que se pede;
    De um ponto A , um agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de 45^{\circ}. Ao se aproximar 50 metros do morro, ele passa a ver o topo T conforme um ângulo de 60^{\circ}. Determine a altura do morro.

Passo 1

O enunciado pede a altura do morro. Informações dadas:
  • De um ponto A o topo T do morro é visto sob um ângulo de \,45^\circ.
  • Ao se aproximar \,50 metros do morro, o agrimensor passa a ver o topo T sob um ângulo de \,60^\circ.
  • Presumo (peguei isso do desenho enviado) que os pontos de observação e a base do morro estão no mesmo plano horizontal, ou seja, a situação pode ser modelada por dois triângulos retângulos com a mesma altura h (a altura do morro) e bases horizontais diferentes.
O que se pede: determinar a altura do morro h em metros.

Passo 2

Definimos variáveis e desenhamos mentalmente (esquema) os triângulos retângulos:
  • Seja O o pé do morro (projeção horizontal do topo T no solo).
  • Seja B o ponto mais próximo onde o ângulo de elevação para T é \,60^\circ.
  • Seja A o ponto mais afastado (o ponto inicial), a 50 m de B na direção do morro, onde o ângulo de elevação para T é \,45^\circ.
Chamamos:
\;h = altura do morro T O.
\;x = distância horizontal de B até O (ou seja, BO=x).
Então a distância de A até O é \,x+50 (ou seja, AO=x+50).
Esquema (texto):
T
|
h
O —— x —— B —— 50 m —— A

Passo 3

Relembrando a definição usada aqui: em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente:
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
  • No triângulo com vértice em B, o cateto oposto ao ângulo \,60^\circ é h e o cateto adjacente é x.
  • No triângulo com vértice em A, o cateto oposto ao ângulo \,45^\circ é h e o cateto adjacente é x+50.
Também é útil lembrar valores exatos das tangentes:
\tan(45^\circ)=1,\qquad \tan(60^\circ)=\sqrt{3}.

Passo 4

Aplicando a definição da tangente ao ponto B (ângulo \,60^\circ):
\tan(60^\circ)=\frac{h}{x}.
Substituindo \tan(60^\circ)=\sqrt{3} obtemos:
\sqrt{3}=\frac{h}{x}\quad\Rightarrow\quad h = x\sqrt{3}.

Passo 5

Aplicando a tangente ao ponto A (ângulo \,45^\circ):
\tan(45^\circ)=\frac{h}{x+50}.
Como \tan(45^\circ)=1, temos:
1=\frac{h}{x+50}\quad\Rightarrow\quad h = x+50.

Passo 6

Agora igualamos as duas expressões para h (pois ambas representam a mesma altura):
x\sqrt{3} = x+50.
Isolamos x:
x\sqrt{3}-x=50 \quad\Rightarrow\quad x(\sqrt{3}-1)=50.
Logo
x=\frac{50}{\sqrt{3}-1}.
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}+1):
x=\frac{50(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{50(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{50(\sqrt{3}+1)}{2}=25(\sqrt{3}+1).

Passo 7

Agora encontramos h. Usamos a expressão mais simples h=x+50:
h = x+50 = 25(\sqrt{3}+1)+50.
Simplificando:
h = 25\sqrt{3}+25+50 = 25\sqrt{3}+75.
Esse é o valor exato. Podemos dar uma aproximação numérica usando \sqrt{3}\approx 1{,}732:
h \approx 25\cdot 1{,}732 + 75 \approx 43{,}301 + 75 = 118{,}301.
Arredondando para uma casa decimal, h \approx 118{,}3 metros.

Passo 8

Breve verificação de consistência: ao aproximar 50 m, o ângulo aumenta de 45^\circ para 60^\circ; isso é consistente com a distância x positiva encontrada e com uma altura em torno de 118 m. Tudo coerente.

Resposta

h = 25\sqrt{3}+75\\ \text{m} \approx 118{,}30\\ \text{m}

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