Se o valor de R \ 250.000,00 for aplicado em um título que tem rentabilidade nominal deí6 % ao semestre, e se, neste mesmo período, a inflação for deíçã2,5 %$, então qual o rendimento real que o aplicador obterá no período?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Capital aplicado: R\$\,250.000,00.
  • Rentabilidade nominal do título no período (semestre): 6\%.
  • Inflação no mesmo período (semestre): 2,5\%.
Pergunta do enunciado: qual o rendimento real que o aplicador obterá no período? (ou seja, a taxa real de rendimento descontada a inflação — e, se quisermos, quanto isso representa em reais sobre os R\$\,250.000,00).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): diferença entre taxa nominal e taxa real.
  • A taxa nominal i_{\text{nom}} é a rentabilidade anunciada do investimento, sem descontar a perda do poder de compra causada pela inflação.
  • A inflação \pi corrói o poder de compra; por isso precisamos obter a taxa real i_{\text{real}}, que representa o aumento efetivo do poder de compra do investidor.
A relação que conecta essas taxas é a chamada relação de Fisher exata (não a aproximação linear). Ela diz que o crescimento real multiplicado pelo crescimento da inflação dá o crescimento nominal. Em fórmulas:
1 + i_{\text{real}} = \frac{1 + i_{\text{nom}}}{1 + \pi}.
Explicando cada símbolo:
  • i_{\text{nom}} é a taxa nominal (aqui 6\%, ou seja 0,06 em termos decimais).
  • \pi é a inflação (aqui 2,5\%, ou seja 0,025 em termos decimais).
  • i_{\text{real}} é a taxa real que queremos encontrar.
Motivação intuitiva: se seu dinheiro cresce por um fator 1+i_{\text{nom}}, mas os preços crescem por 1+\pi, o seu poder de compra cresce pelo quociente desses fatores.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números do enunciado.
Primeiro transforme porcentagens em formato decimal dentro da fórmula (vou manter em porcentagem na escrita mas sempre entendendo que 6\%=0,06 e 2,5\%=0,025):
1 + i_{\text{real}} = \frac{1 + 0,06}{1 + 0,025} = \frac{1,06}{1,025}.
Agora calculamos a razão. Podemos simplificar a fração exatamente:
\frac{1,06}{1,025} = \frac{1060}{1025} = \frac{212}{205}.
Logo,
i_{\text{real}} = \frac{212}{205} - 1 = \frac{7}{205}.
Como porcentagem:
i_{\text{real}} = \frac{7}{205}\approx 0,03414634146\ldots
Convertendo para porcentagem (multiplicando por 100):
i_{\text{real}}\approx 3,414634146\%\\ \text{no semestre}.
Arredondando razoavelmente para centésimos de ponto percentual, podemos usar 3,41\% ou para mais precisão 3,4146\%. Vou manter quatro casas decimais úteis: 3,4146\%.

Passo 4

Se você quiser saber o ganho real em reais sobre o capital de R\$\,250.000,00: multiplicamos a taxa real pelo capital.
Usando a forma exata i_{\text{real}}=\dfrac{7}{205}:
\text{Ganho real} = R\$\,250.000,00 \times \frac{7}{205} = R\$\,8.536,585365\ldots
Arredondando para centavos:
\text{Ganho real} \approx R\$\,8.536,59.
Interpretação final e ânimo: isso significa que, apesar do título render 6\% nominal ( R\$\,15.000,00 sobre R\$\,250.000,00), depois de descontar a inflação de 2,5\% o aumento efetivo do poder de compra é bem menor — cerca de 3,4146\% no semestre, aproximadamente R\$\,8.536,59.

Resposta

i_{\text{real}}\approx 3,4146\% (no semestre)
Ganho real aproximado: R\$\,8.536,59

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