Exemplo 4/3: Calcule as forças induzidas nos elementos K L, C L e C B pela carga de 200 kN na treliça em balanço.

Passo 1

O enunciado e a figura fornecem os seguintes dados (peguei estes números da imagem):
  • Uma carga concentrada de \,200\\ \mathrm{kN}\, aplicada vertical para baixo no nó G.
  • Painéis horizontais: 6 painéis de 3\\ \mathrm{m} cada (isto é, espaçamento entre nós consecutivos na corda inferior =3\\ \mathrm{m}).
  • Alturas dos nós superiores: os nós superiores à esquerda ( H,I,J,K ) estão a 4\\ \mathrm{m} acima da corda inferior; o nó M acima de A está a 6{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Rotulação e ordenação dos nós na corda inferior (da direita para a esquerda): A,B,C,D,E,F,G; portanto as coordenadas horizontais diferem por 3\\ \mathrm{m} entre nós consecutivos.
O que o problema pede:
  • Calcular as forças internas nos elementos K L, C L e C B causadas pela carga de 200\\ \mathrm{kN} em G.

Passo 2

Escolha do método e convenções (por que este método?)
  • Vou usar o método das seções (method of sections): recorto a treliça por uma seção que atravessa exatamente os três elementos cujas forças desejo ( K L,\;C L,\;C B).
  • Escolhi considerar a porção à esquerda da seção (contendo a carga 200\\ \mathrm{kN} em G). Isso é conveniente porque nessa porção há apenas uma carga externa conhecida ( 200\\ \mathrm{kN}) e as três forças nos membros cortados são as únicas incógnitas: então as três equações de equilíbrio estático plano ( \sum F_x=0,\\ \sum F_y=0,\\ \sum M=0) permitem determinar as três incógnitas.
  • Convenção de sinal: assumirei que todas as forças internas F são positivas quando em tração (isto é, puxando a parte considerada, direção ao longo do membro afastando-se da parte cortada). Se o resultado for negativo, o membro está em compressão.

Passo 3

Posições (montando um sistema de coordenadas, origem em A, eixo x para a esquerda, y para cima) e coordenadas relevantes (usei os dados da imagem para construí-las):
  • Espaçamento horizontal entre nós consecutivos: 3\\ \mathrm{m}. Assim as coordenadas na corda inferior (em metros) são:
    • A(0,0), B(3,0), C(6,0), D(9,0), E(12,0), F(15,0), G(18,0).
  • Posição vertical dos nós superiores:
    • K está acima de C a 4\\ \mathrm{m}: K(6,4) (peguei 4\\ \mathrm{m} da imagem).
    • M está acima de A a 6{,}5\\ \mathrm{m}: M(0,6{,}5) (peguei 6{,}5\\ \mathrm{m} da imagem).
    • O nó L está sobre B horizontalmente ( x=3 ) e pertence à corda superior que liga K(6,4) e M(0,6{,}5). Portanto calculei a altura de L interpolando a corda K\!-\!M: y_L = y_K + \frac{y_M-y_K}{x_M-x_K}\,(x_L-x_K)Substituindo: y_L = 4 + \frac{6{,}5-4}{0-6}\,(3-6) = 4 + \frac{2{,}5}{-6}\,(-3)=4+1{,}25=5{,}25.Assim L(3,5{,}25).
  • A carga aplicada está em G(18,0): 200\\ \mathrm{kN} para baixo.

Passo 4

Geometria e vetores dos membros cortados (necessário para decompor forças):
  • Membro C L: vetor de C até L: \overrightarrow{CL} = L-C = (3-6,\\\ 5{,}25-0)=(-3,\\\ 5{,}25).Comprimento |\overrightarrow{CL}|=\sqrt{(-3)^2+(5{,}25)^2}=\sqrt{9+27{,}5625}=\sqrt{36{,}5625}=6{,}045\\ \mathrm{m}.Direção (cosseno e seno): \cos\theta_{CL}=\frac{-3}{6{,}045}=-0{,}496296,\qquad \sin\theta_{CL}=\frac{5{,}25}{6{,}045}=0{,}868146.
  • Membro K L: vetor de K até L: \overrightarrow{KL}=L-K=(3-6,\\\ 5{,}25-4)=(-3,\\\ 1{,}25).Comprimento |\overrightarrow{KL}|=\sqrt{(-3)^2+(1{,}25)^2}=\sqrt{9+1{,}5625}=\sqrt{10{,}5625}=3{,}25\\ \mathrm{m}.Direção: \cos\theta_{KL}=\frac{-3}{3{,}25}=-0{,}9230769,\qquad \sin\theta_{KL}=\frac{1{,}25}{3{,}25}=0{,}3846154.
  • Membro C B: horizontal entre C(6,0) e B(3,0). Vetor de C até B é (-3,0). Logo \cos\theta_{CB}=-1,\\ \sin\theta_{CB}=0 se tomarmos a direção de C para B. (Na equação de equilíbrio eu só precisarei da componente horizontal.)

Passo 5

Equilíbrio de momentos para achar F_{KL} (momento em relação a C):
  • Cortei entre B e C e estou equilibrando a porção à esquerda. Nesse corpo livre, as forças que não passam por C são: a carga 200\\ \mathrm{kN} em G (posição relativa a C: x_G-x_C=18-6=12\\ \mathrm{m}) e a força interna F_{KL} cuja linha de ação é a linha K\!-\!L. As outras duas incógnitas F_{CL} e F_{CB} passam por C e, portanto, não geram momento sobre C.
  • Distância perpendicular de C à reta KL: usar área/cross-product. Vetor de K até C é \overrightarrow{KC}=(0,-4). Vetor diretor de KL é \overrightarrow{KL}=(-3,1{,}25) de módulo 3{,}25. A magnitude do momento arm é d = \frac{|\overrightarrow{KC}\times\overrightarrow{KL}|}{|\overrightarrow{KL}|} =\frac{|0\cdot1{,}25 - (-4)\cdot(-3)|}{3{,}25}=\frac{12}{3{,}25}=3{,}6923077\\ \mathrm{m}.
  • Equilíbrio de momentos em C (positivo CCW). Momento devido a F_{KL} é +F_{KL}\,d. Momento devido à carga é -200\cdot 12 (clockwise). Logo: F_{KL}\cdot 3{,}6923077 - 200\cdot 12 = 0.Resolvo: F_{KL} = \frac{200\cdot 12}{3{,}6923077} = \frac{2400}{3{,}6923077}=650\\ \mathrm{kN}.Sinal positivo: a força assumida (tração) está correta. Portanto F_{KL}=650\\ \mathrm{kN} em tração.

Passo 6

Equilíbrio vertical ( \sum F_y=0) para encontrar F_{CL}:
  • Para a porção esquerda a soma das forças verticais é zero: -200 + F_{CL}\sin\theta_{CL} + F_{KL}\sin\theta_{KL}=0.Substituindo \sin\theta_{CL}=0{,}868146, \sin\theta_{KL}=0{,}3846154 e F_{KL}=650\\ \mathrm{kN}: -200 + 0{,}868146\,F_{CL} + 650\cdot 0{,}3846154 = 0.Calcule 650\cdot 0{,}3846154 = 250. Assim: -200 + 0{,}868146\,F_{CL} + 250 = 0 \quad\Rightarrow\quad 0{,}868146\,F_{CL} +50 =0.Logo F_{CL} = -\frac{50}{0{,}868146} = -57{,}598\\ \mathrm{kN}\approx -57{,}6\\ \mathrm{kN}.
  • O sinal negativo indica que a força está oposta à suposição de tração — ou seja, C L está em compressão. Portanto F_{CL}=57{,}6\\ \mathrm{kN} (compressão).

Passo 7

Equilíbrio horizontal ( \sum F_x=0) para achar F_{CB}:
  • Equação das forças horizontais para a porção esquerda: F_{CB} + F_{CL}\cos\theta_{CL} + F_{KL}\cos\theta_{KL} = 0.Substituindo valores numéricos ( \cos\theta_{CL}=-0{,}496296,\\ \cos\theta_{KL}=-0{,}9230769, F_{KL}=650, F_{CL}=-57{,}598): F_{CB} + (-57{,}598)(-0{,}496296) + 650(-0{,}9230769)=0.Calcule passo a passo:
    • 650\cdot(-0{,}9230769)=-600.
    • (-57{,}598)\cdot(-0{,}496296)=+28{,}576 (aprox).
      Assim:
    F_{CB} + 28{,}576 -600 = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{CB} = 600 - 28{,}576 = 571{,}424\\ \mathrm{kN}.Arredondando: F_{CB}\approx 571{,}4\\ \mathrm{kN}.
  • Sinal positivo (conforme a convenção) indica que C B está em tração.

Passo 8

Interpretação final (unidades e sinais):
  • F_{KL}=650\\ \mathrm{kN} — positivo: tração.
  • F_{CL}=-57{,}6\\ \mathrm{kN} — negativo: compressão de 57{,}6\\ \mathrm{kN}.
  • F_{CB}=571{,}4\\ \mathrm{kN} — positivo: tração.

Resposta

F_{KL}=650\\ \mathrm{kN} (tração)
F_{CL}=57{,}6\\ \mathrm{kN} (compressão)
F_{CB}=571{,}4\\ \mathrm{kN} (tração)

Exercícios relacionados