Q 25 Por uma mudança de variável conveniente encontre uma primitiva para cada função.
integral sen(x)(9-cos (x))^3 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função
integral sin(x)l(9-cos(x)r)^3,dx
usando uma mudança de variável. O conteúdo aqui é substituir uma expressão que simplify e transformá-la numa integral de potência de u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 9 - cos(x)
Como ddxl(-cos(x)r)=sin(x), temos
du = sin(x),dx
Assim o numerador sin(x),dx vira simplesmente du.

Passo 3

A integral em x transforma-se em integral em u:
integral sin(x)l(9-cos(x)r)^3,dx = integral 1u^3,du = integral u^-3,du
Sabemos que
integral u^n,du = u^n+1n+1+C,
portanto, aqui com n=-3,
integral u^-3,du = u^-2-2+C = -12,u^2+C

Passo 4

Voltando à variável original, u=9-cos(x), obtemos a primitiva
-12l(9-cos(x)r)^2+C

Resposta

-12l(9-cos(x)r)^2+C

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