EXEMPLO 2: Calcule o trabalho máximo envolvido em uma expansão isotérmica, a 27^{\circ} \mathrm{C}, de um 1 mol de gás ideal, de 20 L para 60 L .
R .: W=2,74 k J.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho máximo envolvido em uma expansão isotérmica, a 27^\circ\mathrm{C}, de 1 mol de gás ideal, de 20\\ \mathrm{L} para 60\\ \mathrm{L}.
Informações dadas:
  • quantidade de substância: n=1\\ \mathrm{mol}.
  • temperatura: T=27^\circ\mathrm{C}.
  • volumes inicial e final: V_i=20\\ \mathrm{L} e V_f=60\\ \mathrm{L}.
  • o gás é ideal e a expansão é isotérmica e reversível (o que garante trabalho máximo).
    O que pedimos: o valor numérico do trabalho máximo realizado durante essa expansão.

Passo 2

Conceito e fórmula usada (aula rápida): em uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, o trabalho realizado pelo gás é dado pela integral do termopressão em relação ao volume,
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
Para um gás ideal a pressão relaciona-se com volume por P=\dfrac{nRT}{V}. Substituindo na integral temos
W=\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV.
Aqui cada símbolo significa:
  • W: trabalho realizado pelo gás (unidade SI: joule, \mathrm{J}).
  • n: número de mols do gás (mol).
  • R: constante universal dos gases ideais (valor numérico abaixo).
  • T: temperatura absoluta em kelvin (K).
  • V: volume (qualquer unidade consistente; verá que usamos razão de volumes).

Passo 3

Cálculo da integral e explicação: como n, R e T são constantes na expansão isotérmica, elas saem da integral:
W = nRT \int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV = nRT\left[\ln V\right]_{V_i}^{V_f} = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Observação importante sobre unidades: a razão \dfrac{V_f}{V_i} é adimensional, então não precisamos converter litros para metros cúbicos para o cálculo da razão — basta que V_f e V_i estejam na mesma unidade.

Passo 4

Valores numéricos e substituição:
  • converter temperatura para kelvin: T=27^\circ\mathrm{C}=27+273,15=300,15\\ \mathrm{K}.
  • constante dos gases: R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • razão de volumes: \dfrac{V_f}{V_i}=\dfrac{60}{20}=3.
  • \ln 3 \approx 1,098612289.
Agora calculamos nRT:
nRT = 1\cdot 8,314\cdot 300,15 \approx 2495,586\\ \mathrm{J}.
Multiplicando pelo logaritmo:
W = 2495,586 \times 1,098612289 \approx 2741,68\\ \mathrm{J}.
Convertendo para quilojoule e arredondando de forma prática:
W \approx 2,74\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Interpretação final rápida: este valor positivo indica o trabalho realizado pelo gás durante a expansão. Como consideramos o processo reversível isotérmico, esse é o trabalho máximo extraível nessa transformação.

Resposta

W = 2,74\\ \mathrm{kJ}

Exercícios relacionados