O enunciado dá o sistema linear com quatro incógnitas x,y,z,t\) e quatro equações. O que se pede é encontrar os valores de \(x,y,z,t\) que satisfazem todas as equações simultaneamente. As equações fornecidas são:
\[\begin{cases} 2x-3y-2z & = & -6,\\[4pt] x-y+z+2t & = & 4,\\[4pt] 3x+2y+2z+t & = & 11,\\[4pt] x+y-3z-t & = & -2. \end{cases}
Informações relevantes que temos: quatro equações lineares em quatro incógnitas (sistema quadrado), todos os coeficientes e os termos independentes são números inteiros. O objetivo é achar x\], \(y, z e t.]
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (eliminação de Gauss): a ideia é transformar o sistema em uma forma triangular superior (ou na forma escalonada reduzida) usando operações elementares sobre linhas — trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, ou somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções. Depois que chegamos a uma forma triangular, fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar as incógnitas. Vamos escrever o sistema como matriz aumentada para manipular mais facilmente:
Cada linha corresponde a uma equação; as colunas são, nesta ordem, os coeficientes de x,y,z,t e a coluna final é o termo independente.]
Passo 3
Primeira escolha de pivô: é conveniente ter 1 no pivô para evitar frações cedo. A segunda linha já tem coeficiente de x igual a 1, então vamos trocar \,R_1 por \,R_2 (troca de linhas é permitida).
Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
Matriz resultante:
Explicação didática: ao ter 1 como pivô, ao subtrair múltiplos dessa linha das outras conseguimos zerar a coluna y sem introduzir frações desnecessárias.]
Passo 6
Zerar os elementos na coluna y das linhas 1,3,4 usando R_2.
Operações:
Agora vamos trabalhar na coluna de z. Temos duas linhas com coeficientes em z: -21 em R_3 e -12 em R_4. Uma técnica sem frações é combinar essas linhas para eliminar z em uma delas e obter uma equação só em t. Por exemplo, façamos a combinação inteira
R_4' \leftarrow 21\cdot R_4 - 12\cdot R_3.
Isso anula a coluna de z porque 21(-12) -12(-21)=0. Calcule:
Agora dividimos essa linha por 69 para simplificar:
R_4' = [0,0,0,1|2].
Isso nos dá imediatamente t=2.]
Passo 8
Com t conhecido, voltamos para eliminar t das outras linhas e encontrar z. Primeiro, usemos R_4'=[0,0,0,1|2] para eliminar o coeficiente de t em R_3. Atualmente R_3=[0,0,-21,-25|-71]. Faça