Exemplo

Resolver o sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss:
\left\{\begin{array}{clc} 2 x-3 y-2 z & = & -6 \\\ x-y+z+2 t & = & 4 \\\\ 3 x+2 y+2 z+t & = & 11 \\\ x+y-3 z-t & = & -2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com quatro incógnitas x,y,z,t\) e quatro equações. O que se pede é encontrar os valores de \(x,y,z,t\) que satisfazem todas as equações simultaneamente. As equações fornecidas são: \[\begin{cases} 2x-3y-2z & = & -6,\\[4pt] x-y+z+2t & = & 4,\\[4pt] 3x+2y+2z+t & = & 11,\\[4pt] x+y-3z-t & = & -2. \end{cases}
Informações relevantes que temos: quatro equações lineares em quatro incógnitas (sistema quadrado), todos os coeficientes e os termos independentes são números inteiros. O objetivo é achar x\], \(y, z e t.]

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (eliminação de Gauss): a ideia é transformar o sistema em uma forma triangular superior (ou na forma escalonada reduzida) usando operações elementares sobre linhas — trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, ou somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções. Depois que chegamos a uma forma triangular, fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar as incógnitas. Vamos escrever o sistema como matriz aumentada para manipular mais facilmente:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & -3 & -2 & 0 & -6\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 3 & 2 & 2 & 1 & 11\\[4pt] 1 & 1 & -3 & -1 & -2 \end{array}\right]
Cada linha corresponde a uma equação; as colunas são, nesta ordem, os coeficientes de x,y,z,t e a coluna final é o termo independente.]

Passo 3

Primeira escolha de pivô: é conveniente ter 1 no pivô para evitar frações cedo. A segunda linha já tem coeficiente de x igual a 1, então vamos trocar \,R_1 por \,R_2 (troca de linhas é permitida).
Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 2 & -3 & -2 & 0 & -6\\[4pt] 3 & 2 & 2 & 1 & 11\\[4pt] 1 & 1 & -3 & -1 & -2 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminar os termos de x nas linhas 2,3,4 usando R_1 como pivô.
Operações:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - 2R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 - 3R_1,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - R_1. \end{aligned}
Calculando cada linha:
\begin{aligned} R_2&: [2,-3,-2,0|-6] -2\cdot[1,-1,1,2|4] = [0,-1,-4,-4|-14],\\[4pt] R_3&: [3,2,2,1|11] -3\cdot[1,-1,1,2|4] = [0,5,-1,-5|-1],\\[4pt] R_4&: [1,1,-3,-1|-2] -[1,-1,1,2|4] = [0,2,-4,-3|-6]. \end{aligned}
Matriz atual:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & -1 & -4 & -4 & -14\\[4pt] 0 & 5 & -1 & -5 & -1\\[4pt] 0 & 2 & -4 & -3 & -6 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora queremos um pivô em y na segunda coluna. É mais simples transformar R_2 para ter pivô +1. Fazemos R_2 \leftarrow -R_2.
Isso dá:
R_2 = [0,1,4,4|14].
Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 4 & 14\\[4pt] 0 & 5 & -1 & -5 & -1\\[4pt] 0 & 2 & -4 & -3 & -6 \end{array}\right]
Explicação didática: ao ter 1 como pivô, ao subtrair múltiplos dessa linha das outras conseguimos zerar a coluna y sem introduzir frações desnecessárias.]

Passo 6

Zerar os elementos na coluna y das linhas 1,3,4 usando R_2.
Operações:
\begin{aligned} R_1 &\leftarrow R_1 + R_2 \quad(\text{pois }-1+1\cdot1=0),\\[4pt] R_3 &\leftarrow R_3 - 5R_2,\\[4pt] R_4 &\leftarrow R_4 - 2R_2. \end{aligned}
Cálculos:
\begin{aligned} R_1&: [1,-1,1,2|4] +[0,1,4,4|14] = [1,0,5,6|18],\\[4pt] R_3&: [0,5,-1,-5|-1] -5\cdot[0,1,4,4|14] = [0,0,-21,-25|-71],\\[4pt] R_4&: [0,2,-4,-3|-6] -2\cdot[0,1,4,4|14] = [0,0,-12,-11|-34]. \end{aligned}
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 5 & 6 & 18\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 4 & 14\\[4pt] 0 & 0 & -21 & -25 & -71\\[4pt] 0 & 0 & -12 & -11 & -34 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora vamos trabalhar na coluna de z. Temos duas linhas com coeficientes em z: -21 em R_3 e -12 em R_4. Uma técnica sem frações é combinar essas linhas para eliminar z em uma delas e obter uma equação só em t. Por exemplo, façamos a combinação inteira
R_4' \leftarrow 21\cdot R_4 - 12\cdot R_3.
Isso anula a coluna de z porque 21(-12) -12(-21)=0. Calcule:
\begin{aligned} 21\cdot R_4 &= [0,0,-252,-231|-714],\\[4pt] 12\cdot R_3 &= [0,0,-252,-300|-852],\\[4pt] 21\cdot R_4 - 12\cdot R_3 &= [0,0,0,69|138]. \end{aligned}
Agora dividimos essa linha por 69 para simplificar:
R_4' = [0,0,0,1|2].
Isso nos dá imediatamente t=2.]

Passo 8

Com t conhecido, voltamos para eliminar t das outras linhas e encontrar z. Primeiro, usemos R_4'=[0,0,0,1|2] para eliminar o coeficiente de t em R_3. Atualmente R_3=[0,0,-21,-25|-71]. Faça
R_3 \leftarrow R_3 + 25\cdot R_4'.
Cálculo:
R_3 = [0,0,-21,-25|-71] +25\cdot[0,0,0,1|2] = [0,0,-21,0|-21].
Agora dividimos R_3 por -21 para obter o pivô em z:
R_3 \leftarrow -\frac{1}{21}R_3 = [0,0,1,0|1].
Portanto z=1.

Passo 9

Com z e t conhecidos, eliminamos z e t das linhas R_1 e R_2 para obter x e y.
Atualmente:
\begin{aligned} R_1 &= [1,0,5,6|18],\\[4pt] R_2 &= [0,1,4,4|14],\\[4pt] R_3 &= [0,0,1,0|1],\\[4pt] R_4'&= [0,0,0,1|2]. \end{aligned}
Eliminar z usando R_3:
\begin{aligned} R_1 &\leftarrow R_1 - 5R_3 = [1,0,0,6|13],\\[4pt] R_2 &\leftarrow R_2 - 4R_3 = [0,1,0,4|10]. \end{aligned}
Eliminar t usando R_4':
\begin{aligned} R_1 &\leftarrow R_1 - 6R_4' = [1,0,0,0|1],\\[4pt] R_2 &\leftarrow R_2 - 4R_4' = [0,1,0,0|2]. \end{aligned}
Agora a matriz está na forma reduzida:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]
Isso dá diretamente x=1, y=2, z=1, t=2.]

Resposta

x=1\
y=2\
z=1\
t=2

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