Exemplo 4: Calcule as transformadas inversas abaixo.
\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-1)^{3}}\right\};

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pedido: calcular a transformada inversa de Laplace \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s-1)^{3}}\right\}.
  • Dado: a função no domínio de s é \dfrac{1}{(s-1)^{3}}.
  • Objetivo final: encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\dfrac{1}{(s-1)^{3}}.

Passo 2

Noções básicas e teorema de deslocamento (importante aqui).
  • Definição (rápida): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (aqui tratamos s real e maior que um valor que torne a integral convergente).
  • Teorema de deslocamento no domínio s (shifting): se \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s) então, para qualquer a\in\mathbb{R},
\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\}(s)=F(s-a).
Equivalentemente, a transformada inversa satisfaz
\mathcal{L}^{-1}\{F(s-a)\}(t)=e^{at} f(t).
Esse teorema é exatamente o que liga termos do tipo (s-a) no denominador ao fator exponencial e^{at} em t.

Passo 3

Transformadas conhecidas que vamos usar.
  • Fato padrão: para inteiro n\ge0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Vou demonstrar o caso n=2 (útil e didático) via integração por partes para você poder reproduzir na prova sem decorar cegamente.
Calcule
I=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt.
Fazer integração por partes duas vezes.
1ª integração por partes: escolha u=t^{2}, dv=e^{-st}dt. Então du=2t\,dt, v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
I=\left[-\dfrac{t^{2}}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt.
O termo de fronteira é zero porque, para s>0, e^{-st} decai mais rápido que t^{2} cresce, logo \lim_{t\to\infty} t^{2}e^{-st}=0; no t=0 é zero também.
2ª integral (chame de J):
J=\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt.
Repete integração por partes: u=t, dv=e^{-st}dt \Rightarrow du=dt, v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Então
J=\left[-\dfrac{t}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Novamente o termo de fronteira nulo; a última integral é \dfrac{1}{s}. Portanto
J=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Voltando a I:
I=\frac{2}{s}J=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.
Portanto
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}}.
Dessa relação segue imediatamente que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\}(t)=\frac{1}{2}t^{2}.

Passo 4

Aplicando o teorema de deslocamento ao caso específico.
  • Temos \dfrac{1}{(s-1)^{3}} = F(s-1) com F(s)=\dfrac{1}{s^{3}}.
  • Sabemos do passo anterior que \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{3}}\right\}(t)=\dfrac{1}{2}t^{2}.
  • Pelo teorema de deslocamento, a transformada inversa de F(s-1) é e^{1\cdot t} vezes a inversa de F(s). Ou seja,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-1)^{3}}\right\}(t)=e^{t}\cdot\frac{1}{2}t^{2}.

Passo 5

Verificação rápida (consistência).
  • Se você aplicar a transformada de Laplace em \dfrac{1}{2}t^{2}e^{t} e usar o teorema de deslocamento, obtém F(s-1)=\dfrac{1}{(s-1)^{3}}, que é a função dada. Logo a resposta está correta.
  • Dica prática para prova: sempre que aparecer (s-a)^{n} no denominador, pense em primeiro lugar no caso a=0 (potências de s) para identificar a parte em t^{n-1}, depois aplique o deslocamento multiplicando por e^{at}.

Resposta

\dfrac{1}{2}t^{2}e^{t}

Exercícios relacionados