Exemplo 4: Calcule as transformadas inversas abaixo.
;
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
- Pedido: calcular a transformada inversa de Laplace
. - Dado: a função no domínio de
é . - Objetivo final: encontrar a função
tal que .
Passo 2
Noções básicas e teorema de deslocamento (importante aqui).
- Definição (rápida): a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável complexa (aqui tratamos
real e maior que um valor que torne a integral convergente).
- Teorema de deslocamento no domínio
(shifting): se então, para qualquer ,
Equivalentemente, a transformada inversa satisfaz
Esse teorema é exatamente o que liga termos do tipo
no denominador ao fator exponencial
em
.
Passo 3
Transformadas conhecidas que vamos usar.
- Fato padrão: para inteiro
,
Vou demonstrar o caso
(útil e didático) via integração por partes para você poder reproduzir na prova sem decorar cegamente.
Calcule
Fazer integração por partes duas vezes.
1ª integração por partes: escolha
,
. Então
,
. Assim
O termo de fronteira é zero porque, para
,
decai mais rápido que
cresce, logo
; no
é zero também.
2ª integral (chame de
):
Repete integração por partes:
,
,
. Então
Novamente o termo de fronteira nulo; a última integral é
. Portanto
Voltando a
:
Portanto
Dessa relação segue imediatamente que
Passo 4
Aplicando o teorema de deslocamento ao caso específico.
- Temos
com . - Sabemos do passo anterior que
. - Pelo teorema de deslocamento, a transformada inversa de
é vezes a inversa de . Ou seja,
Passo 5
Verificação rápida (consistência).
- Se você aplicar a transformada de Laplace em
e usar o teorema de deslocamento, obtém , que é a função dada. Logo a resposta está correta. - Dica prática para prova: sempre que aparecer
no denominador, pense em primeiro lugar no caso (potências de ) para identificar a parte em , depois aplique o deslocamento multiplicando por .