Exemplo 4: Calcule as transformadas inversas abaixo.
\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2 e^{-s}}{s^{2}+4 s+1}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2e^{-s}}{s^{2}+4s+1}\right\}.
Informações dadas e o que precisamos extrair:
  • A expressão no domínio de s é \dfrac{2e^{-s}}{s^{2}+4s+1}.
  • Observa-se um fator exponencial e^{-s} multiplicando uma função racional em s.
  • O objetivo é encontrar uma função f(t) no tempo tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{2e^{-s}}{s^{2}+4s+1}.

Passo 2

Identificar e usar o teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de translação):
  • Se \;F(s)=e^{-a s}G(s)\; então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=u(t-a)\,g(t-a),
onde g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} e u(t-a) é a função degrau unitário deslocada (Heaviside) que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a.
  • Aqui o fator exponencial é e^{-s}, então a=1. Vamos escrever
\frac{2e^{-s}}{s^{2}+4s+1}=e^{-1\cdot s}\cdot G(s), \qquad G(s)=\frac{2}{s^{2}+4s+1}.
Portanto a tarefa se reduz a achar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} e depois aplicar a translação no tempo: f(t)=u(t-1)\,g(t-1).

Passo 3

Calcular g(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2}{s^{2}+4s+1}\right\}.
Primeiro simplificamos o denominador completando o quadrado:
s^{2}+4s+1=(s+2)^{2}-3.
Assim
G(s)=\frac{2}{(s+2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}.

Passo 4

Reconhecer formas conhecidas de transformada: para a>0 e b>0 vale
\mathcal{L}\{e^{-at}\operatorname{sinh}(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}-b^{2}} \qquad\text{e}\qquad \mathcal{L}\{e^{-at}\operatorname{cosh}(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}-b^{2}}.
Explicando rapidamente: a transformada de \operatorname{sinh}(bt) é b/(s^{2}-b^{2}); multiplicar por e^{-at} corresponde a substituir s por s+a na transformada, originando as fórmulas acima.

Passo 5

Comparar G(s)=\dfrac{2}{(s+2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}} com a forma \dfrac{b}{(s+a)^{2}-b^{2}}.
Aqui a=2 e b=\sqrt{3}. Temos
\frac{\sqrt{3}}{(s+2)^{2}-3}=\mathcal{L}\{e^{-2t}\operatorname{sinh}(\sqrt{3}\,t)\}.
Para obter numerador 2 fazemos uma constante multiplicativa:
\frac{2}{(s+2)^{2}-3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{(s+2)^{2}-3}.
Logo, pela linearidade da transformada,
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s+2)^{2}-3}\right\}=\frac{2}{\sqrt{3}}\,e^{-2t}\operatorname{sinh}\!\big(\sqrt{3}\,t\big).

Passo 6

Aplicar o deslocamento no tempo (Passo 2): como tínhamos o fator e^{-s}=e^{-1\cdot s} com a=1, a transformada inversa pedida é
f(t)=u(t-1)\,g(t-1).
Substituindo g:
f(t)=u(t-1)\,\frac{2}{\sqrt{3}}\,e^{-2(t-1)}\operatorname{sinh}\!\big(\sqrt{3}\,(t-1)\big).

Resposta

\boxed{f(t)=u(t-1)\,\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,e^{-2(t-1)}\operatorname{sinh}\!\big(\sqrt{3}\,(t-1)\big)}

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