Exemplo 4: Calcule as transformadas inversas abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a transformada inversa
Informações dadas e o que precisamos extrair:
- A expressão no domínio de
é . - Observa-se um fator exponencial
multiplicando uma função racional em . - O objetivo é encontrar uma função
no tempo tal que .
Passo 2
Identificar e usar o teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de translação):
- Se
então
onde
e
é a função degrau unitário deslocada (Heaviside) que vale
para
e
para
.
- Aqui o fator exponencial é
, então . Vamos escrever
Portanto a tarefa se reduz a achar
e depois aplicar a translação no tempo:
.
Passo 3
Calcular
.
Primeiro simplificamos o denominador completando o quadrado:
Primeiro simplificamos o denominador completando o quadrado:
Assim
Passo 4
Reconhecer formas conhecidas de transformada: para
e
vale
Explicando rapidamente: a transformada de
é
; multiplicar por
corresponde a substituir
por
na transformada, originando as fórmulas acima.
Passo 5
Comparar
com a forma
.
Aqui e
. Temos
Aqui
Para obter numerador
fazemos uma constante multiplicativa:
Logo, pela linearidade da transformada,
Passo 6
Aplicar o deslocamento no tempo (Passo 2): como tínhamos o fator
com
, a transformada inversa pedida é
Substituindo
: