Exemplo 4: Calcule as transformadas inversas abaixo.
;
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
Ou seja, queremos encontrar uma função de tempo
tal que, aplicada a transformada de Laplace, produz
.
Passo 2
Lembrete das fórmulas padrão que vamos usar (essas são fórmulas básicas de transformada de Laplace):
Aqui
é a variável complexa da transformada de Laplace (no domínio de
) e
é a frequência angular da função no domínio do tempo. Essas fórmulas dizem, por exemplo, que a transformada de
é a fração
.
Exemplo rápido para fixar: para
,
Passo 3
Comparar a expressão dada com a forma
. Aqui temos
, portanto identificamos
Agora escrevemos a função dada de forma a aparecer a fração
. Podemos fatorar a constante
:
Passo 4
Usamos a linearidade da transformada inversa de Laplace: para constante
vale
Aplicando isso e a fórmula para
com
, obtemos
Passo 5
Verificação rápida (opcional, mas ajuda a fixar): aplicar
em
:
ou seja, volta à função original — confirma que a inversa está correta.