Exemplo 4: Calcule as transformadas inversas abaixo.
\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+64}\right\};

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{1}{s^{2}+64}\right).
Ou seja, queremos encontrar uma função de tempo f(t) tal que, aplicada a transformada de Laplace, produz \dfrac{1}{s^{2}+64}.

Passo 2

Lembrete das fórmulas padrão que vamos usar (essas são fórmulas básicas de transformada de Laplace):
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui s é a variável complexa da transformada de Laplace (no domínio de s) e a>0 é a frequência angular da função no domínio do tempo. Essas fórmulas dizem, por exemplo, que a transformada de \sin(at) é a fração \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Exemplo rápido para fixar: para a=3,
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}=\frac{3}{s^{2}+9}.

Passo 3

Comparar a expressão dada com a forma \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}. Aqui temos s^{2}+64, portanto identificamos
a^{2}=64 \quad\Rightarrow\quad a=8.
Agora escrevemos a função dada de forma a aparecer a fração \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}. Podemos fatorar a constante 1/8:
\frac{1}{s^{2}+64}=\frac{1}{s^{2}+8^{2}}=\frac{1}{8}\cdot\frac{8}{s^{2}+8^{2}}.

Passo 4

Usamos a linearidade da transformada inversa de Laplace: para constante c vale
\mathcal{L}^{-1}\{c\cdot F(s)\}=c\cdot\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Aplicando isso e a fórmula para \sin(at) com a=8, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{1}{s^{2}+64}\right) =\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{1}{8}\cdot\frac{8}{s^{2}+8^{2}}\right) =\frac{1}{8}\,\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{8}{s^{2}+8^{2}}\right) =\frac{1}{8}\sin(8t).

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas ajuda a fixar): aplicar \mathcal{L} em \dfrac{1}{8}\sin(8t):
\mathcal{L}\!\left\{\frac{1}{8}\sin(8t)\right\}=\frac{1}{8}\cdot\frac{8}{s^{2}+8^{2}}=\frac{1}{s^{2}+64},
ou seja, volta à função original — confirma que a inversa está correta.

Resposta

\dfrac{1}{8}\sin(8t)

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